（1.2.5.4）二叉排序树=二叉搜索树

来源：互联网发布：当当和淘宝买书哪个好编辑：程序博客网时间：2024/04/28 23:51

1.二叉排序树的概念:

  二叉排序树是一种动态树表。
二叉排序树的定义：二叉排序树或者是一棵空树，
或者是一棵具有如下性质的二叉树：
   ⑴ 若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
   ⑵ 若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；

⑶ 左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。二叉排序树的性质：按中序遍历二叉排序树，所得到的中序遍历序列是一个递增有序序列

2.二叉排序树的插入:
在二叉排序树中插入新结点，要保证插入后的二叉树仍符合二叉排序树的定义。
插入过程：若二叉排序树为空，则待插入结点*S作为根结点插入到空树中；
当非空时，将待插结点关键字S->key和树根关键字t->key进行比较，
若s->key = t->key,则无须插入，若s->key< t->key,则插入到根的左子树中，
若s->key> t->key,则插入到根的右子树中。而子树中的插入过程和在树中的插入过程相同，
如此进行下去，直到把结点*s作为一个新的树叶插入到二叉排序树中，或者直到发现树已有相同关键字的结点为止。

void bst_insert(struct bst_node **root, struct bst_node *new)
{
if (*root == NULL) {
*root = new;
} else {
if (new->key < (*root)->key) {
bst_insert(&(*root)->left, new);
} else {
bst_insert(&(*root)->right, new);
}
}
}

3. 二叉排序树生成：
从空的二叉排序树开始，经过一系列的查找插入操作以后，生成了一棵二叉排序树。
说明：
   ① 每次插入的新结点都是二叉排序树上新的叶子结点。
   ② 由不同顺序的关键字序列，会得到不同二叉排序树。
   ③ 对于一个任意的关键字序列构造一棵二叉排序树，其实质上对关键字进行排序。

4. 二叉排序树的查找:
在二叉排序树中进行查找的过程和二分查找类似，也是一个逐步缩小查找范围的过程。若查找成功，则是走了一条从根结点到待查结点的路径；若查找失败，则是走了一条根结点到某个叶子结点的路径。因此，查找过程中和关键字比较的次数不超过树的深度。
由于含有n个结点的二叉排序树不唯一，形态和深度可能不同。故含有n个结点的二叉排序树的平均查找长度和树的形态有关。
最好的情况是：二叉排序树和二叉判定树形态相同。
最坏的情况是：二叉排序树为单支树，这时的平均查找长度和顺序查找时相同。
最坏情况示例
就平均性能而言，二叉排序树上的查找和二分查找相差不大，并且二叉排序树上的插入和删除结点十分方便，无须大量移动结点。

//查找
bool BinarySearchTree::search(ElemType data)
{
if (!empty())
{
BTNode* p = Root;
while (p)
{
if (data == p->data)
return true;
else if (data < p->data)
p = p->lchild;
else
p = p->rchild;
}
}
//树空或查找失败
return false;
}

5. 二叉排序树的删除:
假设被删结点是*p，其双亲是*f，不失一般性，设*p是*f的左孩子，下面分三种情况讨论：
⑴ 若结点*p是叶子结点，则只需修改其双亲结点*f的指针即可。
⑵ 若结点*p只有左子树PL或者只有右子树PR，则只要使PL或PR 成为其双亲结点的左子树即可。
⑶ 若结点*p的左、右子树均非空，先找到*p的中序前趋结点*s（注意*s是*p的左子树中的最右下的结点，它的右链域为空），然后有两种做法：
① 令*p的左子树直接链到*p的双亲结点*f的左链上,而*p的右子树链到*p的中序前趋结点*s的右链上。
② 以*p的中序前趋结点*s代替*p（即把*s的数据复制到*p中），将*s的左子树链到*s的双亲结点*q的左（或右）链上。

第一种过程如下：
1。若p有左子树，找到其左子树的最右边的叶子结点r，用该叶子结点r来替代p，把r的左孩子
作为r的父亲的右孩子。
2。若p没有左子树，直接用p的右孩子取代它。

btree * DelNode(btree *p)
{
if (p->lchild)
{
btree *r = p->lchild; //r指向其左子树;
while(r->rchild != NULL)//搜索左子树的最右边的叶子结点r
{
r = r->rchild;
}
r->rchild = p->rchild;
btree *q = p->lchild; //q指向其左子树;
free(p);
return q;
}
else
{
btree *q = p->rchild; //q指向其右子树;
free(p);
return q;
}
}

第二种过程如下：
1。若p有左子树，用p的左孩子取代它；找到其左子树的最右边的叶子结点r，把p的右子树作为r
的右子树。
2。若p没有左子树，直接用p的右孩子取代它。

btree * DelNode(btree *p)
{
if (p->lchild)
{
btree *r = p->lchild; //r指向其左子树;
btree *prer = p->lchild; //prer指向其左子树;
while(r->rchild != NULL)//搜索左子树的最右边的叶子结点r
{
prer = r;
r = r->rchild;
}
if(prer != r)//若r不是p的左孩子，把r的左孩子作为r的父亲的右孩子
{
prer->rchild = r->lchild;
r->lchild = p->lchild; //被删结点p的左子树作为r的左子树
}
r->rchild = p->rchild; //被删结点p的右子树作为r的右子树
free(p);
return r;
}
else
{
btree *q = p->rchild; //q指向其右子树;
free(p);
return q;
}
}

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