RMQ(Range MinimumQuery)问题

RMQ(Range MinimumQuery)问题

         有关RMQ的详细介绍可见刘汝佳《算法竞赛入门经典训练指南》P197页

         RMQ问题可以解决对于一个整数数组(当然也可以是其他可比较大小的元素类型)的任意区间[L, R]查询最值时，以O(1)时间复杂度回答询问。其实它就是一种数据压缩的思想。

         RMQ能在经过O(nlogn)的时间预处理后，做到O(1)时间复杂度的任意区间最大最小值查询。

下面是一维RMQ代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int MAXN=50000+100;int dmax[MAXN][20];int dmin[MAXN][20];void initmax(int n,int d[])//初始化最大值查询{    for(int i=1; i<=n; i++)        dmax[i][0]=d[i];    for(int j=1 ; (1<<j)<=n ; j++)        for(int i=1; i+(1<<j)-1 <=n; i++)            dmax[i][j]=max(dmax[i][j-1],dmax[i+(1<<(j-1))][j-1]);}int getmax(int L,int R)//查询最大值{    int k=0;    while((1<<(k+1))<=R-L+1)k++;    return max(dmax[L][k] , dmax[R-(1<<k)+1][k]);}void initmin(int n,int d[])//初始化最小值查询{{    for(int i=1; i<=n; i++)        dmin[i][0]=d[i];    for(int j=1; (1<<j)<=n; j++)        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)            dmin[i][j]= min( dmin[i][j-1],dmin[i+(1<<(j-1))][j-1] );}int getmin(int L,int R)//查询最小值{    int k=0;    while( (1<<(k+1)) <=R-L+1)k++;    return min(dmin[L][k],dmin[R-(1<<k)+1][k]);}

基本应用

POJ 3264 Balanced Lineup（简单RMQ）：最基础的RMQ问题，可以熟悉模板。解题报告！

POJ 3368 Frequent Values(RMQ)：需要转换为RMQ问题。解题报告！

HDU 3183 A Magic Lamp（贪心 or RMQ）：可以用贪心或RMQ来做，方法很巧妙。解题报告！

POJ 2452 Sticks Problem(二分+RMQ)：RMQ中等难度题，这类题目不能直接使用RMQ方法，但是都是把原始问题往RMQ问题上转换的。解题报告！

HDU 3193 Find the hotel(RMQ): 需要将二维属性变为一纬属性。解题报告！

POJ 1785 Binary Search HeapConstruction(RMQ)：很巧妙的RMQ递归解法。解题报告！

 

动态最值RMQ问题(需自定义min和max函数)

HDU 4122 Alice's mooncake shop(RMQ：动态最值)：需动态比较产生最值。解题报告！

 

关于二维RMQ问题：

类似于二维树状数组问题,二维RMQ问题就是求一个矩阵N*M中的一个小块矩阵内的最值问题.其中dmin[i][j][ii][jj]=x表示以(i, j)为左上角,以(i+(1<<ii)-1, j+(1<<jj)-1 )为右下角的矩阵内的最小值.dmax的值类似.

         下面dmin[i][j][ii][jj]的值如何求呢?首先我们知道dmin[i][j][0][0]的值就是v[i][j],而假设dmin[i][j][ii][jj]中的ii不为0,那么dmin[i][j][ii][jj]= min(dmin[i][j][ii-1][jj], dmin[i+(1<<ii)][j][ii-1][jj] );如果ii为0,那么就按jj来求.

         其实上面的求法就是等于把二维问题转变为一维问题来求解.

         下面我们讨论如何查询结果.

         对于一个以(x1, y1)为左上角,以(x2, y2)为右下角的矩形,如何求它的最小值和最大值呢?下面假设我们求最小值:

         我们把(x1，y1)与(x2，y2)构成的矩形分成四小块，这四小块可能有重合部分，但是它们共同构成了目标矩形：

         dmin[x1][y1][ii][jj]

         dmin[x1][y2-(1<<jj)+1][ii][jj]

         dmin[x2-(1<<ii)+1][y1][ii][jj]

         dmin[x2-(1<<ii)+1][y2-(1<<jj)+1][ii][jj]

         (自己想象下上面4小块是怎么样的？)

         temp 1=min(dmin[x1][y1][ii][jj] , dmin[x1][y2-(1<<jj)+1][ii][jj])

         temp 2=min(dmin[x2-(1<<ii)+1][y1][ii][jj] ,dmin[x2-(1<<ii)+1][y2-(1<<jj)+1][ii][jj] )

         最终结果是min(temp1, temp2);

//POJ 2019#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int MAXN=300;int val[MAXN][MAXN];int dmin[MAXN][MAXN][10][10];int dmax[MAXN][MAXN][10][10];void initRMQ(int n,int m)//对n*m的矩阵初始化RMQ且矩阵下标从1开始{    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=m;j++)            dmin[i][j][0][0]=dmax[i][j][0][0]=val[i][j];    for(int ii=0;(1<<ii)<=n;ii++)        for(int jj=0;(1<<jj)<=m;jj++)        if(ii+jj)            for(int i=1;i+(1<<ii)-1<=n;i++)                for(int j=1;j+(1<<jj)-1<=m;j++)                if(ii)                {                    dmin[i][j][ii][jj] = min(dmin[i][j][ii-1][jj] ,dmin[i+(1<<(ii-1))][j][ii-1][jj]);                    dmax[i][j][ii][jj] = max(dmax[i][j][ii-1][jj] ,dmax[i+(1<<(ii-1))][j][ii-1][jj]);                }                else                {                    dmin[i][j][ii][jj] = min(dmin[i][j][ii][jj-1] , dmin[i][j+(1<<(jj-1))][ii][jj-1]);                    dmax[i][j][ii][jj] = max(dmax[i][j][ii][jj-1] , dmax[i][j+(1<<(jj-1))][ii][jj-1]);                }}int getMax(int x1,int y1,int x2,int y2)//RMQ查询{    int k1=0;    while((1<<(k1+1))<=x2-x1+1)k1++;    int k2=0;    while((1<<(k2+1))<=y2-y1+1)k2++;    x2 = x2 - (1<<k1)+1;    y2 = y2 - (1<<k2)+1;    return max(max(dmax[x1][y1][k1][k2],dmax[x1][y2][k1][k2]) ,max(dmax[x2][y1][k1][k2],dmax[x2][y2][k1][k2]) );}int getMin(int x1,int y1,int x2,int y2)//RMQ查询{    int k1=0;    while((1<<(k1+1))<=x2-x1+1)k1++;    int k2=0;    while((1<<(k2+1))<=y2-y1+1)k2++;    x2 = x2 - (1<<k1)+1;    y2 = y2 - (1<<k2)+1;    return min( min(dmin[x1][y1][k1][k2],dmin[x1][y2][k1][k2]) ,min(dmin[x2][y1][k1][k2],dmin[x2][y2][k1][k2]) );}

 

二维RMQ问题

POJ 2019 Cornfields(简单二维RMQ)：基本的二维RMQ查询。解题报告！

HDU 2888 Check Corners(简单二维RMQ)：简单二维RMQ查询。解题报告！