机器学习Python实现 SVD 分解

这篇文章主要是结合机器学习实战将推荐算法和SVD进行相应的结合

任何一个矩阵都可以分解为SVD的形式

其实SVD意义就是利用特征空间的转换进行数据的映射，后面将专门介绍SVD的基础概念，先给出python，这里先给出一个简单的矩阵，表示用户和物品之间的关系

这里我自己有个疑惑？

对这样一个DATA = U（Z）Vt 

这里的U和V真正的几何含义  :  书上的含义是U将物品映射到了新的特征空间， V的转置  将 用户映射到了新的特征空间

下面是代码实现，同时SVD还可以用于降维，降维的操作就是通过保留值比较的奇异值

# -*- coding: cp936 -*-'''Created on Mar 8, 2011@author: Peter'''from numpy import *from numpy import linalg as la #用到别名#这里主要结合推荐系统介绍SVD，所以这里的数据都可以看成是用户对物品的一个打分def loadExData():    return[[0, 0, 0, 2, 2],           [0, 0, 0, 3, 3],           [0, 0, 0, 1, 1],           [1, 1, 1, 0, 0],           [2, 2, 2, 0, 0],           [5, 5, 5, 0, 0],           [1, 1, 1, 0, 0]]    def loadExData2():    return[[0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 5],           [0, 0, 0, 3, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 3],           [0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 1, 0, 4, 0],           [3, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0],           [5, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 0],           [0, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 0, 5, 0],           [4, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 1],           [0, 0, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],           [0, 0, 0, 2, 0, 2, 5, 0, 0, 1, 2],           [0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 4, 0],           [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0]]    def ecludSim(inA,inB):    return 1.0/(1.0 + la.norm(inA - inB))  #计算向量的第二范式,相当于直接计算了欧式距离def pearsSim(inA,inB):    if len(inA) < 3 : return 1.0    return 0.5+0.5*corrcoef(inA, inB, rowvar = 0)[0][1] #corrcoef直接计算皮尔逊相关系数def cosSim(inA,inB):    num = float(inA.T*inB)    denom = la.norm(inA)*la.norm(inB)    return 0.5+0.5*(num/denom)  #计算余弦相似度#协同过滤算法#dataMat 用户数据 user 用户 simMeas 相似度计算方式 item 物品def standEst(dataMat, user, simMeas, item):     n = shape(dataMat)[1] #计算列的数量，物品的数量    simTotal = 0.0; ratSimTotal = 0.0     for j in range(n):        userRating = dataMat[user,j]        print(dataMat[user,j])        if userRating == 0: continue  #如果用户u没有对物品j进行打分，那么这个判断就可以跳过了        overLap = nonzero(logical_and(dataMat[:,item].A>0, \                                      dataMat[:,j].A>0))[0]    #找到对物品 j 和item都打过分的用户        if len(overLap) == 0: similarity = 0        else: similarity = simMeas(dataMat[overLap,item], dataMat[overLap,j])     #利用相似度计算两个物品之间的相似度                                           print 'the %d and %d similarity is: %f' % (item, j, similarity)        simTotal += similarity        ratSimTotal += similarity * userRating  #待推荐物品与用户打过分的物品之间的相似度*用户对物品的打分    if simTotal == 0: return 0    else: return ratSimTotal/simTotal#利用SVD进行分解，但是这里是直接用的库里面的函数    #如果自己实现一个SVD分解，我想就是和矩阵论里面的求解知识是一样的吧，但是可能在求特征值的过程中会比较痛苦def svdEst(dataMat, user, simMeas, item):    n = shape(dataMat)[1]    simTotal = 0.0; ratSimTotal = 0.0    U,Sigma,VT = la.svd(dataMat) #直接进行分解    Sig4 = mat(eye(4)*Sigma[:4]) #arrange Sig4 into a diagonal matrix    xformedItems = dataMat.T * U[:,:4] * Sig4.I  #create transformed items    for j in range(n):        userRating = dataMat[user,j]        if userRating == 0 or j==item: continue        similarity = simMeas(xformedItems[item,:].T,\                             xformedItems[j,:].T)        print 'the %d and %d similarity is: %f' % (item, j, similarity)        simTotal += similarity        ratSimTotal += similarity * userRating    if simTotal == 0: return 0    else: return ratSimTotal/simTotal#真正的推荐函数，后面两个函数就是采用的相似度的计算方法和推荐用的方法def recommend(dataMat, user, N=3, simMeas=cosSim, estMethod=standEst):    unratedItems = nonzero(dataMat[user,:].A==0)[1]  #find unrated items  nonzero()[1]返回的是非零值所在的行数，返回的是一个元组   if len(unratedItems) == 0: return 'you rated everything'    itemScores = []    for item in unratedItems:        estimatedScore = estMethod(dataMat, user, simMeas, item)        itemScores.append((item, estimatedScore))    return sorted(itemScores, key=lambda jj: jj[1], reverse=True)[:N]#扩展的例子，利用SVD进行图像的压缩#将图像打印出来def printMat(inMat, thresh=0.8):    for i in range(32):        for k in range(32):            if float(inMat[i,k]) > thresh:                print 1,            else: print 0,        print ''#最后发现重构出来的数据图是差不多的def imgCompress(numSV=3, thresh=0.8):    myl = []    for line in open('0_5.txt').readlines():        newRow = []        for i in range(32):            newRow.append(int(line[i]))        myl.append(newRow)    myMat = mat(myl)   #将数据读入了myMat当中        print "****original matrix******"    printMat(myMat, thresh)    U,Sigma,VT = la.svd(myMat)    SigRecon = mat(zeros((numSV, numSV)))   #构建一个3*3的空矩阵    for k in range(numSV):#construct diagonal matrix from vector        SigRecon[k,k] = Sigma[k]    reconMat = U[:,:numSV]*SigRecon*VT[:numSV,:]    print "****reconstructed matrix using %d singular values******" % numSV    printMat(reconMat, thresh)

通过结果可以看到，降维前和降维后的图片基本都是相似的