SGU - 169 - Numbers （找规律）

169. Numbers

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input: standard
output: standard

Let us call P(n) - the product of all digits of number n (in decimal notation). 
For example, P(1243)=1*2*4*3=24; P(198501243)=0. 
Let us call n to be a good number, if (p(n)<>0) and (n mod P(n)=0). 
Let us call n to be a perfect number, if both n and n+1 are good numbers. 

You are to write a program, which, given the number K, counts all such 
numbers n that n is perfect and n contains exactly K digits in decimal notation.

Input

Only one number K (1<=K<=1000000) is written in input.

Output

Output the total number of perfect k-digit numbers.

Sample test(s)

Input

1

Output

8

[submit]

[forum]

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Author:All-Russian mathematical olympiad juryResource:District mathematical olympiad, 8th formDate: 

出得很巧妙的一道数学题

自己推导总感觉哪里少了，但是又没有发现，无奈搜了下题解，瞬间知道了，推导参考：点击打开链接

P(n)定义为n的所有位数的乘积，例如P(1243)=1*2*3*4=24，然后如果P(n)!=0且n mod P(n) = 0，则称n为good number.
如果n和n+1都为good numbers，则称n为perfect number。然后给出位数k(1<=k<=1000000)，找出位数为k的perfect number.


题目看起来很玄虚，而且给出的位数k很大，其实越大的数据不是用高精度的话往往就会有简便的方法，这道题也不例外。
设n有i位，各位分别为a1,a2,...,ai，因为个位为9的数不可能为perfect number（因为n+1不是good number）。
所以n+1的各位分别为a1+1, a2, a3, ... , ai
因为要求n mod P(n) = 0，所以n = s*a1*a2*...*ai，类似的有n+1 = t*(a1+1)*a2*a3*...*ai
所以(n+1)-n = 1 = [t*(a1+1)-s*a1]*a2*a3*...*ai
所以可以推出a2,a3,... ,ai必都为1，则有a1 | n, (a1+1) | (n+1)
所以只需考虑a1的情况，a1有8个取值，（考虑位数大于1的情况）
a1=1时，显然是可以的。
a1=2时，需要判断3能否整除n+1，因为前面有k-1个1，所以只需判断(k-1+3)%3是否等于0
a1=3时，(a1+1)=4,显然4不能整除14，所以3不行
a1=4同上也不行
a1=5时，判断6能否整除n+1,显然与判断a1=3一样
a1=6时，判断7能否整除n+1,经过简单的除法计算可以知道当前面1的个数(k-1)是6的倍数时才有7 | (n+1)
a1=7时，8不能整除118，所以7不行
a1=8时同上不行

AC代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#include <cmath>using namespace std;int k;int main() {while(scanf("%d", &k) != EOF) {if(k == 1) {printf("8\n");continue;}int cnt = 1;if((k - 1) % 3 == 0) {cnt += 2;if((k - 1) % 6 == 0) {cnt ++;} }printf("%d\n", cnt);}return 0;}