Median of Two Sorted Arrays

将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。

首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。

证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。

当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)

通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：

• 如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
• 如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；
• 如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；

public class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int A[], int B[]) {
        int m = A.length;
    int n = B.length;
     
    if ((m + n) % 2 != 0) // odd
    return (double) findKth(A, B, (m + n) / 2, 0, m - 1, 0, n - 1);
    else { // even
    return (findKth(A, B, (m + n) / 2, 0, m - 1, 0, n - 1) 
    + findKth(A, B, (m + n) / 2 - 1, 0, m - 1, 0, n - 1)) * 0.5;
    }
    }
     
    public  int findKth(int A[], int B[], int k, 
    int aStart, int aEnd, int bStart, int bEnd) {
     
    int aLen = aEnd - aStart + 1;
    int bLen = bEnd - bStart + 1;
     
    // Handle special cases
    if (aLen == 0)
    return B[bStart + k];
    if (bLen == 0)
    return A[aStart + k];
    if (k == 0)
    return A[aStart] < B[bStart] ? A[aStart] : B[bStart];
     
    int aMid = aLen * k / (aLen + bLen); // a's middle count
    int bMid = k - aMid - 1; // b's middle count
     
    // make aMid and bMid to be array index
    aMid = aMid + aStart;
    bMid = bMid + bStart;
     
    if (A[aMid] > B[bMid]) {
    k = k - (bMid - bStart + 1);
    aEnd = aMid;
    bStart = bMid + 1;
    } else {
    k = k - (aMid - aStart + 1);
    bEnd = bMid;
    aStart = aMid + 1;
    }
     
    return findKth(A, B, k, aStart, aEnd, bStart, bEnd);
    }
}