算法导论 第22章 图的基本算法（二） 深度优先搜索

深度优先搜索（DFS）

    本篇博客主要讨论有向图的深度优先搜索，包括递归形式以及非递归形式，遍历中对图的各边进行分类，同时解决该节书后习题。

     DFS与BFS的异同：当扫描顶点u的邻接链表发现v时，就将u置为v的祖先，这一点与BFS相同；与此不同的是，在BFS中，先辈子图形成一棵树，而DFS的先辈子图可以有几棵树组成，即成为一个森林，因为搜索可以从多个不同的源顶点开始。

     除了可能创建一个深度优先森林外，对于各顶点的访问，我们都加上时间戳并标上合适的颜色。刚开始时对于所有顶点，颜色均为白色，表示均未被访问；搜索中，对于顶点u，当第一次访问时将其置为灰色，并打上时间戳d[u]，在后续搜索结束对u的访问时将其置为黑色，并打上时间戳f[u]。显然时间戳将会是1~2|V|之间的一个数，因为对于每个顶点都会有一个开始访问时刻和结束访问时刻，且有：d[u] < f[u]。

     顶点在d[u]之前，为白色；在d[u]和f[u]之间将会是灰色;在f[u]之后将一直为黑色。因此可以看出，灰色顶点带式整个搜索的分界线，是正在被访问的顶点，在此之前，是已经访问完毕的黑色顶点，在此之后，是未被访问的白色顶点。

   

约定：

    1、边节点结构

struct edgeNode{//边节点size_t adjvertex;//该边的关联的顶点edge e;//边类型int weight;//边权重edgeNode *nextEdge;//下一条边edgeNode(size_t adj, int w) :adjvertex(adj), weight(w),e(GRAPH),nextEdge(nullptr){}};

    2、顶点结构

struct vertex{size_t c;//颜色size_t d, f;//访问开始和结束时间size_t p;//父亲vertex() :c(WHITE), p(NOPARENT), d(0), f(0){}};

    3、有向图数据成员

class AGraph{//图private:vector<edgeNode*> E;vector<vertex> V;size_t nodenum;};

    4、关于顶点编号。所有顶点将用数字1,2,3...编号，按图的顺时间方向标注；对于图的两个vector成员均从索引1开始存入数据，且索引i对应地是顶点i的相关信息，一是为了便于后续算法实现，二是0可以用作它途，比如表示没有祖先NOPARENT。

边类型的分类

    根据访问过程中遇到的顶点的颜色以及时间戳可以将边分为四类，如下：

对于边(u,v)，我么将根据v的颜色以及两者的时间戳将其分为四类，

1、树边(tree edge)：v是白色，则边(u,v)是树边；

2、反向边(back edge):v是灰色，因为v是灰色表明正在搜索v的后裔，而现在由u又能搜索到v，说明存在环，且边(u,v)指向了u的祖先v，因而是反向边；

3、正向边(forward edge)：v是黑色且d[u] < d[v],黑色表明v已经搜索完毕，d[u] < d[v]表明在搜索u过程中v已经被搜索完毕，那么v必是u的某个后裔的后裔，同时在图中又是u的直接后裔，u是其祖先。

4、交叉边(cross edge)：v是黑色且d[u] > d[v],v比u先搜索完毕，而且没有通过v搜索到u,表明在图中v不是u的祖先，现在通过u搜索到v，却已经为黑色，则(u,v)不可能为树边，那么在深度优先树中u也不可能是v的祖先，即在DFS树中，一个顶点不会是另一个顶点的祖先。另外，交叉边也可能存在于不同的优先树之间。

递归DFS完整代码

#include<iostream>#include<fstream>#include<vector>#include<stack>#define NOPARENT 0using namespace std;enum color{ WHITE, GRAY, BLACK };enum edge{GRAPH, TREE, BACK, FORWARD, CROSS };struct edgeNode{//边节点size_t adjvertex;//该边的关联的顶点edge e;//边类型int weight;//边权重edgeNode *nextEdge;//下一条边edgeNode(size_t adj, int w) :adjvertex(adj), weight(w),e(GRAPH),nextEdge(nullptr){}};struct vertex{size_t c;//颜色size_t d, f;//访问开始和结束时间size_t p;//父亲vertex() :c(WHITE), p(NOPARENT), d(0), f(0){}};class AGraph{//图private:vector<edgeNode*> E;vector<vertex> V;size_t nodenum;void DFS_aux(size_t u,size_t &time);void DFS_aux_Not_recursive(size_t u, size_t &time);void printEdge();//打印图的边类型void printVertex();//打印顶点信息public:AGraph(size_t n) :nodenum(n){E.resize(n + 1);V.resize(n + 1);}void initGraph();//初始化有向图void clearVertex(){//用于清除顶点状态for (size_t i = 1; i <= nodenum; ++i){V[i].c = WHITE;V[i].p = NOPARENT;V[i].d = 0;V[i].f = 0;}}edgeNode* search(size_t, size_t);//查找边void addEdge(size_t, size_t, int);//有向图中添加边void DFS();void print();~AGraph();};void AGraph::initGraph(){size_t start, end;ifstream infile("F:\\dfs.txt");while (infile >> start >> end)addEdge(start, end, 1);}edgeNode* AGraph::search(size_t start, size_t end){edgeNode *curr = E[start];while (curr != nullptr && curr->adjvertex != end)curr = curr->nextEdge;return curr;}void AGraph::addEdge(size_t start, size_t end, int weight = 1){edgeNode *curr = search(start, end);if (curr == nullptr){edgeNode *p = new edgeNode(end, weight);p->nextEdge = E[start];E[start] = p;}}inline void AGraph::print(){for (size_t i = 1; i != E.size(); ++i){edgeNode *curr = E[i];cout << i;if (curr == nullptr) cout << " --> null";elsewhile (curr != nullptr){cout << " --> " << curr->adjvertex;curr = curr->nextEdge;}cout << endl;}}void AGraph::printEdge(){for (size_t i = 1; i != E.size(); ++i){edgeNode *curr = E[i];while (curr != nullptr){cout << i << " --> " << curr->adjvertex;switch (curr->e){case TREE:cout << " : TREE" << endl;break;case BACK:cout << " : BACK" << endl;break;case FORWARD:cout << " : FORWARD" << endl;break;case CROSS:cout << " : CROSS" << endl;break;}curr = curr->nextEdge;}}}void AGraph::printVertex(){cout << "parent vector" << endl;for (size_t i = 1; i != E.size(); ++i)cout << V[i].p << ' ';cout << endl << "start time vector" << endl;for (size_t i = 1; i != E.size(); ++i)cout << V[i].d << ' ';cout << endl << "finish time vector" << endl;for (size_t i = 1; i != E.size(); ++i)cout << V[i].f << ' ';cout << endl;}void AGraph::DFS_aux(size_t u, size_t &time){V[u].c = GRAY;V[u].d = ++time;edgeNode *curr = E[u];while (curr != nullptr){if (V[curr->adjvertex].c == WHITE){curr->e = TREE;V[curr->adjvertex].p = u;DFS_aux(curr->adjvertex, time);}else if (V[curr->adjvertex].c == GRAY)curr->e = BACK;else{if (V[u].d < V[curr->adjvertex].d) curr->e = FORWARD;else curr->e = CROSS;}curr = curr->nextEdge;}V[u].c = BLACK;V[u].f = ++time;}void AGraph::DFS(){size_t time = 0;for (size_t i = 1; i != E.size(); ++i)if (V[i].c == WHITE)DFS_aux(i, time);printVertex();printEdge();}AGraph::~AGraph(){for (size_t i = 1; i != E.size(); ++i){edgeNode *curr = E[i], *pre;while (curr != nullptr){pre = curr;curr = curr->nextEdge;delete pre;}}}const int nodenum = 8;int main(){AGraph G(nodenum);G.initGraph();G.print();G.DFS();getchar();return 0;}

对书中22-5的图从源点s开始顺时针标号，运行上述程序，得到下述结果

习题22.3-6 非递归的深度优先搜索（DFS）

    要消除递归，就需要引入一个栈。对于顶点u，在DFS完毕它的第一个邻接顶点之后，回来的时候应当能够记住该访问哪条边了，不能又从头开始搜寻，因此另外一个关键是引入一个数组vector，专门存储每个顶点下一次将要被访问的边，在程序代码中成为access_edge。

void AGraph::DFS_aux_Not_recursive(size_t u, size_t &time){stack<size_t> S;vector<edgeNode*> access_edge(E);//记下每个顶点下一条将被访问的边，初始时就等于EV[u].c = GRAY;V[u].d = ++time;S.push(u);while (!S.empty()){//只要栈不空，不断搜索size_t i = S.top();edgeNode *curr = access_edge[i];//得到顶点i当前将要被访问的边while (curr != nullptr){//不断循环，直到访问到一个白节点，或者顶点i的所有邻接点已被访问if (V[curr->adjvertex].d == WHITE){//与i相邻的是白节点，即未被访问过V[curr->adjvertex].c = GRAY;V[curr->adjvertex].p = i;V[curr->adjvertex].d = ++time;S.push(curr->adjvertex);//访问后入栈access_edge[i] = curr->nextEdge;//记下顶点i下一条将要被访问的边，开始DFS该邻接顶点break;}else curr = curr->nextEdge;}if (curr == nullptr){//顶点i的所有邻接点已被访问，则出栈V[i].c = BLACK;V[i].f = ++time;S.pop();}//不要while循环的形式，用while是为了减少不必要的出栈和入栈/*if (curr != nullptr){if (c[curr->adjvertex] == WHITE){V[curr->adjvertex].c = GRAY;V[curr->adjvertex].p = i;V[curr->adjvertex].d = ++time;S.push(curr->adjvertex);}access_edge[i] = curr->nextEdge;}else{V[i].c = BLACK;V[i].f = ++time;S.pop();}*/}}

习题22.3-9

    递归形式的DFS有修改，非递归的没有。

习题22.3-11

    给顶点数据结构加一个域cc，在DFS的每次for循环开始前，给予该源点一个k值，表明是第几个连通分支，在DFS_aux中，对于边(u,v)，若v是白色，则说明v和u处于同一分支，即cc[u] = cc[v]。

习题22.3-12

    判断是否存在正向边，若存在则说明非半联通，因为对于某个顶点v,存在某个顶点u到达它的路径不止一条，若没有正向边，则是半联通的。