金字塔型锥状体和四面体

金字塔型锥状体和四面体

「Analysis of Puzzles」 Vol. 2: Mathematical Puzzles : Chapter 2

有一个金字塔型锥状体和一个四面体，其中金字塔型锥状体的底为正方形，四个侧面为正三角形；四面体的四个面都为正三角形，并且与金字塔型锥状体的侧面正三角形相同。如果让锥状体的侧面和四面体的一个面重合在一起，组成一个新的多面体，那个这个新的多面体有多少个面？

证明

金字塔型锥状体 PABCD 有五个面，四面体 PADE 有四个面，PAD 重合，所以我们很容易得到答案，有 4+5-2=7 个面，但事实真的如此吗？答案是否定的，其实只有 5 个面，因为 PCD 和 PDE 在一个平面上 PAB 和 PAE 在一个平面上。如下图所示：

假设 AB = BC = CD = DA = PA = PB = PC = PD = PE = EA = ED = 2, ABCD 在 XOY 平面，且以座标原点为中心，另外，F 为 PD 的中点， 可得：

CF=FA=FE=3√

又 C 的座标为(-1, -1, 0), E 的座标为(2, 0, sqrt(2))，所以线段 CE 的长度为：

CE=(2+1)2+1+2−−−−−−−−−−−−−√=23√=CF+EF

可见，F点在直线 CE 上，所以 PCDE 位于同一平面上。同理， PBAE 位于同一平面上，所以有5个平面。

方法2

显然，CF 、AF 、EF 分别垂直与 PD, 所以角 CFA的夹角就是面 CPD 与面 APD 的夹角，角 EFA 的夹角就是面 CPD 与面 EPD 的夹角。

又，

CFA=2arctan(2√)EFA=2arctan(12√)

所以：

CFA + EFA = 180 度

也就是说面 PCD 与 面 EPD 的夹角为 180 度，也就是说PCDE 位于同一平面上。同理， PBAE 位于同一平面上，所以有5个平面。

图是用Python画的，代码位于：Github