树, 二叉树, 二叉搜索树

树的特征和定义

树(Tree)是元素的集合。我们先以比较直观的方式介绍树。下面的数据结构是一个树：

树有多个节点(node)，用以储存元素。某些节点之间存在一定的关系，用连线表示，连线称为边(edge)。边的上端节点称为父节点，下端称为子节点。树像是一个不断分叉的树根。

每个节点可以有多个子节点(children)，而该节点是相应子节点的父节点(parent)。比如说，3,5是6的子节点，6是3,5的父节点；1,8,7是3的子节点, 3是1,8,7的父节点。树有一个没有父节点的节点，称为根节点(root)，如图中的6。没有子节点的节点称为叶节点(leaf)，比如图中的1,8,9,5节点。从图中还可以看到，上面的树总共有4个层次，6位于第一层，9位于第四层。树中节点的最大层次被称为深度。也就是说，该树的深度(depth)为4。

 

如果我们从节点3开始向下看，而忽略其它部分。那么我们看到的是一个以节点3为根节点的树：

三角形代表一棵树

再进一步，如果我们定义孤立的一个节点也是一棵树的话，原来的树就可以表示为根节点和子树(subtree)的关系:

 

上述观察实际上给了我们一种严格的定义树的方法：

1. 树是元素的集合。

2. 该集合可以为空。这时树中没有元素，我们称树为空树 (empty tree)。

3. 如果该集合不为空，那么该集合有一个根节点，以及0个或者多个子树。根节点与它的子树的根节点用一个边(edge)相连。

上面的第三点是以递归的方式来定义树，也就是在定义树的过程中使用了树自身(子树)。由于树的递归特征，许多树相关的操作也可以方便的使用递归实现。我们将在后面看到。

(上述定义来自"Data Structures and Algorithm Analysis in C, by Mark Allen Weiss"。 我觉得有一点不太严格的地方。如果说空树属于树，第三点应该是 “...以及0个和多个非空子树...” )

 

树的实现

树的示意图已经给出了树的一种内存实现方式: 每个节点储存元素和多个指向子节点的指针。然而，子节点数目是不确定的。一个父节点可能有大量的子节点，而另一个父节点可能只有一个子节点，而树的增删节点操作会让子节点的数目发生进一步的变化。这种不确定性就可能带来大量的内存相关操作，并且容易造成内存的浪费。

一种经典的实现方式如下:

树的内存实现

拥有同一父节点的两个节点互为兄弟节点(sibling)。上图的实现方式中，每个节点包含有一个指针指向第一个子节点，并有另一个指针指向它的下一个兄弟节点。这样，我们就可以用统一的、确定的结构来表示每个节点。

 

计算机的文件系统是树的结构，比如Linux文件管理背景知识中所介绍的。在UNIX的文件系统中，每个文件(文件夹同样是一种文件)，都可以看做是一个节点。非文件夹的文件被储存在叶节点。文件夹中有指向父节点和子节点的指针(在UNIX中，文件夹还包含一个指向自身的指针，这与我们上面见到的树有所区别)。在git中，也有类似的树状结构，用以表达整个文件系统的版本变化 (参考版本管理三国志)。

文件树

 

二叉搜索树的C实现

二叉树(binary)是一种特殊的树。二叉树的每个节点最多只能有2个子节点：

二叉树

由于二叉树的子节点数目确定，所以可以直接采用上图方式在内存中实现。每个节点有一个左子节点(left children)和右子节点(right children)。左子节点是左子树的根节点，右子节点是右子树的根节点。

 

如果我们给二叉树加一个额外的条件，就可以得到一种被称作二叉搜索树(binary search tree)的特殊二叉树。二叉搜索树要求：每个节点都不比它左子树的任意元素小，而且不比它的右子树的任意元素大。

(如果我们假设树中没有重复的元素，那么上述要求可以写成：每个节点比它左子树的任意节点大，而且比它右子树的任意节点小)

二叉搜索树，注意树中元素的大小

二叉搜索树可以方便的实现搜索算法。在搜索元素x的时候，我们可以将x和根节点比较:

1. 如果x等于根节点，那么找到x，停止搜索 (终止条件)

2. 如果x小于根节点，那么搜索左子树

3. 如果x大于根节点，那么搜索右子树

二叉搜索树所需要进行的操作次数最多与树的深度相等。n个节点的二叉搜索树的深度最多为n，最少为log(n)。

 

下面是用C语言实现的二叉搜索树，并有搜索，插入，删除，寻找最大最小节点的操作。每个节点中存有三个指针，一个指向父节点，一个指向左子节点，一个指向右子节点。

(这样的实现是为了方便。节点可以只保存有指向左右子节点的两个指针，并实现上述操作。)

 

删除节点相对比较复杂。删除节点后，有时需要进行一定的调整，以恢复二叉搜索树的性质(每个节点都不比它左子树的任意元素小，而且不比它的右子树的任意元素大)。

• 叶节点可以直接删除。
• 删除非叶节点时，比如下图中的节点8，我们可以删除左子树中最大的元素(或者右树中最大的元素)，用删除的节点来补充元素8产生的空缺。但该元素可能也不是叶节点，所以它所产生的空缺需要其他元素补充…… 直到最后删除一个叶节点。上述过程可以递归实现。

删除节点

删除节点后的二叉搜索树

 

/* By Vamei *//* binary search tree */#include <stdio.h>#include <stdlib.h>typedef struct node *position;typedef int ElementTP;struct node {    position parent;    ElementTP element;    position lchild;    position rchild;};/* pointer => root node of the tree */typedef struct node *TREE;void print_sorted_tree(TREE);position find_min(TREE);position find_max(TREE);position find_value(TREE, ElementTP);position insert_value(TREE, ElementTP);ElementTP delete_node(position);static int is_root(position);static int is_leaf(position);static ElementTP delete_leaf(position);static void insert_node_to_nonempty_tree(TREE, position);void main(void) {    TREE tr;    position np;    ElementTP element;    tr = NULL;    tr = insert_value(tr, 18);    tr = insert_value(tr, 5);    tr = insert_value(tr, 2);     tr = insert_value(tr, 8);    tr = insert_value(tr, 81);    tr = insert_value(tr, 101);    printf("Original:\n");    print_sorted_tree(tr);    np = find_value(tr, 8);    if(np != NULL) {        delete_node(np);        printf("After deletion:\n");        print_sorted_tree(tr);    }}/*  * print values of the tree in sorted order */void print_sorted_tree(TREE tr){    if (tr == NULL) return;    print_sorted_tree(tr->lchild);    printf("%d \n", tr->element);    print_sorted_tree(tr->rchild);}/* * search for minimum value * traverse lchild */position find_min(TREE tr){    position np;    np = tr;    if (np == NULL) return NULL;    while(np->lchild != NULL) {        np = np->lchild;    }    return np;}/* * search for maximum value * traverse rchild */position find_max(TREE tr){    position np;    np = tr;    if (np == NULL) return NULL;    while(np->rchild != NULL) {        np = np->rchild;    }    return np;}/* * search for value * */position find_value(TREE tr, ElementTP value) {    if (tr == NULL) return NULL;     if (tr->element == value) {        return tr;    }    else if (value < tr->element) {        return find_value(tr->lchild, value);    }    else {        return find_value(tr->rchild, value);    }}/*  * delete node np  */ElementTP delete_node(position np) {    position replace;    ElementTP element;    if (is_leaf(np)) {        return delete_leaf(np);    }       else {        /* if a node is not a leaf, then we need to find a replacement */        replace = (np->lchild != NULL) ? find_max(np->lchild) : find_min(np->rchild);        element = np->element;        np->element = delete_node(replace);        return element;    }}/*  * insert a value into the tree * return root address of the tree */position insert_value(TREE tr, ElementTP value) {    position np;    /* prepare the node */    np = (position) malloc(sizeof(struct node));    np->element = value;    np->parent  = NULL;    np->lchild  = NULL;    np->rchild  = NULL;     if (tr == NULL) tr = np;    else {        insert_node_to_nonempty_tree(tr, np);    }    return tr;}//=============================================/* * np is root? */static int is_root(position np){    return (np->parent == NULL);}/* * np is leaf? */static int is_leaf(position np){    return (np->lchild == NULL && np->rchild == NULL);}/*  * if an element is a leaf,  * then it could be removed with no side effect. */static ElementTP delete_leaf(position np){    ElementTP element;    position parent;    element = np->element;    parent  = np->parent;    if(!is_root(np)) {        if (parent->lchild == np) {            parent->lchild = NULL;        }        else {            parent->rchild = NULL;        }    }    free(np);    return element;}/* * insert a node to a non-empty tree * called by insert_value() */static void insert_node_to_nonempty_tree(TREE tr, position np){    /* insert the node */    if(np->element <= tr->element) {        if (tr->lchild == NULL) {            /* then tr->lchild is the proper place */            tr->lchild = np;            np->parent = tr;            return;        }        else {            insert_node_to_nonempty_tree(tr->lchild, np);        }    }    else if(np->element > tr->element) {        if (tr->rchild == NULL) {            tr->rchild = np;            np->parent = tr;            return;        }        else {            insert_node_to_nonempty_tree(tr->rchild, np);        }    }}

 

运行结果:

Original:
2 
5 
8 
18 
81 
101 
After deletion:
2 
5 
18 
81 
101

 

上述实现中的删除比较复杂。有一种简单的替代操作，称为懒惰删除(lazy deletion)。在懒惰删除时，我们并不真正从二叉搜索树中删除该节点，而是将该节点标记为“已删除”。这样，我们只用找到元素并标记，就可以完成删除元素了。如果有相同的元素重新插入，我们可以将该节点找到，并取消删除标记。

懒惰删除的实现比较简单，可以尝试一下。树所占据的内存空间不会因为删除节点而减小。懒惰节点实际上是用内存空间换取操作的简便性。

转自：http://www.cnblogs.com/vamei 作者：Vamei