【算法导论】八皇后问题的算法实现（C、MATLAB、Python版）

        八皇后问题是一道经典的回溯问题。问题描述如下：皇后可以在横、竖、斜线上不限步数地吃掉其他棋子。如何将8个皇后放在棋盘上（有8*8个方格），使它们谁也不能被吃掉？

        看到这个问题，最容易想到的就是遍历穷举法，不过仔细一想，思路虽然非常清晰，但是需要遍历次数太多，时间复杂度很高。那么，我们应该怎么办呢？下面给出算法思路：

        算法思想：首先尝试在第一行放置第一个皇后，然后在第二行放置第二个使之与前面的皇后不构成威胁，依此类推。如果发现不能放置下一个皇后，就回溯到上一步，试着将皇后放在其他的位置。最后，或者尝试完所有的可能或者找到解决方案。

        这种算法思想与中国的一句古话“不撞南墙不回头”类似：一路向前走，直到走到死胡同，然后往回走，回到上一个岔路口，重新选择一个方向，继续向前走，直到到达目的地。

        下面给出了该算法的具体实现，用C、MATLAB、PYTHON分别进行了实现，由于程序给出了比较详细的注释，因此就不对具体程序解释说明了。

C语言实现：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#define N 8//棋盘大小int matrix[N][N];//存储皇后的位置，其实也可以用一维数组表示void PrintQueen();//打印棋盘void PlaceQueen(int row);//放置皇后int Conflict(int row,int col);//检查当前皇后是否与之前的冲突int main(){    PlaceQueen(0);    return 0;}void PrintQueen(){    static int solutionNum=0;//看总共有多少种情况    solutionNum+=1;    int row,col;    printf("第%d种方法：\n",solutionNum);    for(row=0;row<N;row+=1)    {        for(col=0;col<N;col+=1)        {            if(matrix[row][col])            {                printf("* ");            }            else            {                printf("- ");            }        }        printf("\n");    }    printf("\n");}int Conflict(int row,int col){for (int m = 0; m <row ; m++) {          for (int n = 0; n <N; n++){               if (matrix[m][n] == 1) //  每一行只有一个皇后  {                  if ( n == col || abs(row - m) == abs(col - n) )   // 检查是否与之前的皇后冲突                    return false;              }          }      }      return true;}void PlaceQueen(int row){if(row>=N)//已经放置了N个皇后{PrintQueen();}else{for(int col=0;col<N;col++){matrix[row][col]=1;if(row==0||Conflict(row,col))PlaceQueen(row+1);//递归调用matrix[row][col]=0;}}}

MATLAB实现

脚本文件Queen.m

 clear allclc global solutionNum;solutionNum=0;%全局变量记录方法数N=8;%皇后个数matrix=zeros(N);%存储皇后位置信息 PlaceQueen(1,matrix,N)%调用放置方法

函数文件PlaceQueen.m

function PlaceQueen(row,matrix,N)%回溯法放置皇后     if row>N        PrintQueen(N,matrix);%打印棋盘    else        for col=1:N            matrix(row,col)=1;            if row==1||Conflict(row,col,N,matrix)%检测是否冲突                PlaceQueen(row+1,matrix,N);            end            matrix(row,col)=0;        end    end        %子函数：检测冲突    function result=Conflict(row,col,N,matrix)%检测是否冲突     result=1;    for i=1:row-1        for j=1:N            if matrix(i,j)==1                if ((j==col)||(abs(row-i)==abs(col-j)))%是否产生冲突：在同一直线，斜线上                    result=0;                    break;                end            end        end        if result==0            break;        end    end         %子函数：打印棋盘信息function PrintQueen(N,matrix)     global solutionNum; %定义全局变量，来累积方法数    solutionNum=solutionNum+1;        disp(['第',num2str(solutionNum),'种方法：']) disp(matrix)

PYTHON实现：

def conflict(state,nextX):#冲突检测函数    nextY=len(state)    for i in range(nextY):        if abs(state[i]-nextX) in (0,nextY-i):#检测是否在同一直线、斜线            return True    return Falsedef queens(num=8,state=()): #放置皇后,采用元组state来存储皇后的位置    for pos in range(num):        if not conflict(state,pos):            if len(state)==num-1:                yield (pos,)            else:                for result in queens(num,state+(pos,)):                    yield (pos,)+resultfor solution in queens(8):    print (solution)    print('总共的方法数为：',len(list(queens(8))))

运行结果分别如下：

1、C语言的运行结果：

2、MATLAB语言的运行结果：

3、PYTHON语言的运行结果：

 

扩展：

上面的程序中，改变N的值就可以解决N皇后的问题了，但还可以用分治法来解决N皇后的问题，具体参见文献《N皇后问题解的构造和等价性分析》。下面的Matlab程序给出了一个简单的算法过程：

4皇后的一种放置方式：

     0     0     1     0

     1     0     0     0

     0     0     0     1

     0     1     0     0

根据4皇后的放置方式可以推导出16皇后的一种放置方式：

     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     1     0     0     0     0     0

     0     0     0     0     0     0     0     0     1     0     0     0     0     0     0     0

     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     1     0     0     0     0

     0     0     0     0     0     0     0     0     0     1     0     0     0     0     0     0

     0     0     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0

     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0

     0     0     0     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0

     0     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0

     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     1     0

     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     1     0     0     0

     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     1

     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     1     0     0

     0     0     0     0     0     0     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0

     0     0     0     0     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0

     0     0     0     0     0     0     0     1     0     0     0     0     0     0     0     0

     0     0     0     0     0     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0

依次类推，可以得到4的幂次皇后的一种放置方式，不过值得注意的是：2、3、8、9、14、15、26、27、38、39这10个N值不能采用这种分治法。

由4皇后直接推出16皇后的Matlab实现如下：

clear allclc a4=[  0     0     1     0     1     0     0     0     0     0     0     1     0     1     0     0] [asize bsize]=size(a4);  a16=zeros(asize^2,bsize^2); [rowIndex,colIndex]=find(a4);  for i=1:length(rowIndex)     a16((1+asize*(rowIndex(i)-1)):asize*rowIndex(i),(1+asize*(colIndex(i)-1)):asize*colIndex(i))=a4; end a16

运行结果如下：

原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/44648249
作者：nineheadedbird