Lecture Note - 北大 - 算法设计与分析 Design and Analysis of Algorithms - Wanling Qu

第一周作业

Question 7

下表给出 5 组 f(n) 和 g(n) 函数

12345f(n)2n3+3n50n+logn50nlognlognn!g(n)100n2+2n+10010n+loglogn10nloglognlog2n5n

使得 f(n)=O(g(n)) 成立的组号（从小到大排列）是：
24

Question 8

使得 f(n)=Ω(g(n)) 成立的组号从小到大排列是（格式同上一题）：
1235

Question 10

使得 f(n)=Θ(g(n)) 成立的组号从小到大排列是（格式同上一题）：
2

Slide - 011序列求和的方法

调和级数

调和级数（英语：Harmonic series）是一个发散的无穷级数，表达式为：

∑k=1∞1k=1+12+13+14+⋯

第n个调和数与n的自然对数的差值（即 ∑nk=11k−lnn）收敛于欧拉-马歇罗尼常数。

二分检索平均时间复杂度

结点数总共为 n=2k−1。
在前 k−1 次检索成功，有 1 个元素第 1 次检索成功，有 2 个元素第 2 次检索成功，有 3 个元素第 3 次比较成功，依次类推，有 2t−1 个元素第 t 次检索成功。
而在第 k 次的比较中，有 2k−1 个元素可能检索成功，还可能会有 n+1 个元素检索不成功。
所以会有 Slide 中所示的计算方法。

第二周作业

Question 1

可用数学归纳法证明：

∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6

Question 2

递推式应该为：

T(n)=logn+log(n−1)+log(n−2)+⋯+log1

推测 T(n) 的阶应该是 Θ(nlogn)。

Question 3

根据主定理，T(n) 的阶是 Θ(nlog27)，W(n) 的阶 Θ(nlog4a) 应该不超过 T(n) 的阶，即 nlog4a⩽nlog27，可解出最大的 a=48。

Question 4

由主定理可知，T(n)=Θ(n2)