K-D树

K-D树，即K-Dimensional Tree，是一种高维索引树型数据结构。常用于大规模高维数据空间的最邻近或者K邻

近查找，例如图像检索中高维图像特征向量的K邻近匹配，对KNN算法的优化等。

 

Contents

 

   1. K-D树的基本原理

   2. K-D树的改进（BBF算法）

   3. K-D树的C++实现

   4. K-D树的开源框架介绍

 

 

1. K-D树的基本原理

 

   K-D树实际上是一棵高维二叉搜索树，与普通二叉搜索树不同的是，树中存储的是一些K维数据。先回忆一下二

   叉搜索树（BST），它是一棵具有如下性质的树

 

   （1）若它的左子树不为空，那么左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值。

   （2）若它的右子树不为空。那么右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值。

   （3）它的左右子树也分别是一棵二叉搜索树。

 

   二叉搜索树在建树时，按照上述规则分别插入即可。而在搜索时，从根节点开始往下查找。可以看出二叉搜索

   树的建树平均时间复杂度为，最坏时间复杂度为，查找的平均时间复杂度为，

   最坏时间复杂度为，由于二叉搜索树不是平衡的，可能退化为一条链，这种情况就是最坏情况了。

 

   普通的二叉搜索树是一维的，当推广到K维后，就是我们的K-D树了。在K-D树中跟二叉搜索树差不多，也是将

   一个K维的数据与根节点进行比较，然后划分的，这里的比较不是整体的比较，而是选择其中一个维度来进行比

   较。那么在K-D树中我们需要解决两个重要的问题

 

   （1）每一次划分时，应该选择哪个维度？

   （2）在某个维度上划分时，如何保证左右子树节点个数尽量相等？

 

   首先来看问题（1）每次划分时，应该选择哪个维度 ？

 

   最简单的做法就是一个维度一个维度轮流着来，但是仔细想想，这种方法不能很好地解决问题。假设有这样一

   种情况：我们需要切一个豆腐条，长度要远远大于宽度，要想把它切成尽量相同的小块，显然是先按照长度来

   切，这样更合理，如果宽度比较窄，那么这种效果更明显。所以在K-D树中，每次选取属性跨度最大的那个来

   进行划分，而衡量这个跨度的标准是什么？ 无论是从数学上还是人的直观感受方面来说，如果某个属性的跨度

   越大，也就是说越分散，那么这组数据的方差就越大，所以在K-D树进行划分时，可以每次选择方差最大的属性

   来划分数据到左右子树。

 

   问题（1）已解决，现在再来看问题（2），在某个维度上划分时，如何保证左右子树节点个数尽量相等？

 

   当我们选择好划分的属性时，还要根据某个值来进行左右子树划分，而这个值就是一个划分轴，回忆一下，在快

   速排序算法中，也有一个划分轴pivot。在K-D树的划分中，这个轴的选取很关键，要保证划分后的左右子树尽

   量平衡，那么很显然选取这个属性的值对应数组的中位数作为pivot，就能保证这一点了。

 

   这样就解决了K-D树中最重要的两个问题。接下来看K-D树是如何进行查找的。

 

   假设现在已经构造好了一棵K-D树，最邻近查找的算法描述如下

 

   （1）将查询数据Q从根节点开始，按照Q与各个节点的比较结果向下遍历，直到到达叶子节点为止。到达叶子节

       点时，计算Q与叶子节点上保存的所有数据之间的距离，记录最小距离对应的数据点，假设当前最邻近点为

       p_cur，最小距离记为d_cur。

   （2）进行回溯操作，该操作的目的是找离Q更近的数据点，即在未访问过的分支里，是否还有离Q更近的点，它

       们的距离小于d_cur。

 

   以上就是K-D树的基本原理。

 

 

2. K-D树的改进（BBF算法）

 

   上述中的K-D树存在缺点，当维数比较大的时候，建树后的分支自然会增多，进而回溯的次数增加，算法效率会

   随之降低。在图像检索中，特征往往是高维的，很有必要对K-D树算法进行改进，这就是即将要介绍的BBF算法。

 

   BBF算法我就不详细说了，具体可以参考如下两篇文章

 

  （1）Kd-Tree算法原理和开源实现代码

   （2）从K近邻算法、距离度量谈到KD树、SIFT+BBF算法

 

 

3. K-D树的C++实现

 

   以HDU4347为例，给出K-D树的C++的简易代码。 题目：The Closest M Points

 

   代码：

#include <iostream>#include <string.h>#include <algorithm>#include <stdio.h>#include <math.h>#include <queue> using namespace std; #define N 50005 #define lson rt << 1#define rson rt << 1 | 1#define Pair pair<double, Node>#define Sqrt2(x) (x) * (x) int n, k, idx; struct Node{    int feature[5];     //定义属性数组    bool operator < (const Node &u) const    {        return feature[idx] < u.feature[idx];    }}_data[N];   //_data[]数组代表输入的数据 priority_queue<Pair> Q;     //队列Q用于存放离p最近的m个数据 class KDTree{     public:        void Build(int, int, int, int);     //建树        void Query(Node, int, int, int);    //查询     private:        Node data[4 * N];    //data[]数组代表K-D树的所有节点数据        int flag[4 * N];      //用于标记某个节点是否存在，1表示存在，-1表示不存在}kd; //建树步骤，参数dept代表树的深度void KDTree::Build(int l, int r, int rt, int dept){    if(l > r) return;    flag[rt] = 1;                   //表示编号为rt的节点存在    flag[lson] = flag[rson] = -1;   //当前节点的孩子暂时标记不存在    idx = dept % k;                 //按照编号为idx的属性进行划分    int mid = (l + r) >> 1;    nth_element(_data + l, _data + mid, _data + r + 1);   //nth_element()为STL中的函数    data[rt] = _data[mid];    Build(l, mid - 1, lson, dept + 1);  //递归左子树    Build(mid + 1, r, rson, dept + 1);  //递归右子树} //查询函数，寻找离p最近的m个特征属性void KDTree::Query(Node p, int m, int rt, int dept){    if(flag[rt] == -1) return;   //不存在的节点不遍历    Pair cur(0, data[rt]);       //获取当前节点的数据和到p的距离    for(int i = 0; i < k; i++)        cur.first += Sqrt2(cur.second.feature[i] - p.feature[i]);    int dim = dept % k;          //跟建树一样，这样能保证相同节点的dim值不变    bool fg = 0;                 //用于标记是否需要遍历右子树    int x = lson;    int y = rson;    if(p.feature[dim] >= data[rt].feature[dim]) //数据p的第dim个特征值大于等于当前的数据，则需要进入右子树        swap(x, y);    if(~flag[x]) Query(p, m, x, dept + 1);      //如果节点x存在，则进入子树继续遍历     //以下是回溯过程，维护一个优先队列    if(Q.size() < m)   //如果队列没有满，则继续放入    {        Q.push(cur);        fg = 1;    }    else    {        if(cur.first < Q.top().first)  //如果找到更小的距离，则用于替换队列Q中最大的距离的数据        {            Q.pop();            Q.push(cur);        }        if(Sqrt2(p.feature[dim] - data[rt].feature[dim]) < Q.top().first)        {            fg = 1;        }    }    if(~flag[y] && fg)         Query(p, m, y, dept + 1);} //输出结果void Print(Node data){    for(int i = 0; i < k; i++)        printf("%d%c", data.feature[i], i == k - 1 ? '\n' : ' ');} int main(){    while(scanf("%d%d", &n, &k)!=EOF)    {        for(int i = 0; i < n; i++)            for(int j = 0; j < k; j++)                scanf("%d", &_data[i].feature[j]);        kd.Build(0, n - 1, 1, 0);        int t, m;        scanf("%d", &t);        while(t--)        {            Node p;            for(int i = 0; i < k; i++)                scanf("%d", &p.feature[i]);            scanf("%d", &m);            while(!Q.empty()) Q.pop();   //事先需要清空优先队列            kd.Query(p, m, 1, 0);            printf("the closest %d points are:\n", m);            Node tmp[25];            for(int i = 0; !Q.empty(); i++)            {                tmp[i] = Q.top().second;                Q.pop();            }            for(int i = m - 1; i >= 0; i--)                Print(tmp[i]);        }    }    return 0;}

 

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2966 

 

题意：给定n个二维点，求每个点距离其它点的最近的距离。其中n <= 100000。

 

代码：

import java.util.Arrays;import java.util.Scanner;public class Main {        final static int SIZE = 100005;final static double EPS = 1e-10;        private boolean[] d = null;    private Node[] p = null;    private long res;    private int index;    private int size;        public class Node{        private long[] x = null;        Node(){            x = new long[2];        }    }        Main(int size){        d = new boolean[size];        p = new Node[size];        for(int i = 0; i < size; i++)            p[i] = new Node();    }    public void setSize(int size){        this.size = size;Arrays.fill(d, false);    }        public void clear(){        res = Long.MAX_VALUE;        index = 0;    }        public void Insert(int id, Node t){        p[id] = t;    }        public Node get(int id){        return p[id];    }    public void InsertSort(Node a[], int id, int l, int r){for(int i = l + 1; i <= r; i++){if(a[i - 1].x[id] > a[i].x[id]){Node t = new Node();t = a[i];int j = i;while(j > l && a[j - 1].x[id] > t.x[id])            {                a[j] = a[j - 1];                j--;            }            a[j] = t;}}}public Node FindMid(Node a[], int id, int l, int r){    if(l == r) return a[l];    int i = 0;    int n = 0;    for(i = l; i < r - 5; i += 5)    {        InsertSort(a, id, i, i + 4);        n = i - l;Node t = new Node();t = a[l + n / 5];a[l + n / 5] = a[i + 2];a[i + 2] = t;    }    int num = r - i + 1;    if(num > 0)    {        InsertSort(a, id, i, i + num - 1);        n = i - l;Node t = new Node();t = a[l + n / 5];            a[l + n / 5] = a[i + num / 2];a[i + num / 2] = t;    }    n /= 5;    if(n == l) return a[l];    return FindMid(a, id, l, l + n);}public boolean Equals(Node a, Node b){if(Math.abs(a.x[0] - b.x[0]) > EPS) return false;if(Math.abs(a.x[1] - b.x[1]) > EPS) return false;return true;}public int FindId(Node a[], int l, int r, Node num){    for(int i = l; i <= r; i++)        if(Equals(a[i], num))        return i;    return -1;}public int Partion(Node a[], int id, int l, int r, int p){    Node t = new Node();        t = a[p];a[p] = a[l];a[l] = t;    int i = l;    int j = r;    Node pivot = a[l];    while(i < j)    {        while(a[j].x[id] >= pivot.x[id] && i < j)            j--;        a[i] = a[j];        while(a[i].x[id] <= pivot.x[id] && i < j)            i++;        a[j] = a[i];    }    a[i] = pivot;    return i;}public Node BFPTR(Node a[], int id, int l, int r, int k){if(l > r) return null;    Node num = FindMid(a, id, l, r);      int p =  FindId(a, l, r, num);     int i = Partion(a, id, l, r, p);    int m = i - l + 1;    if(m == k) return a[i];    if(m > k)  return BFPTR(a, id, l, i - 1, k);    return BFPTR(a, id, i + 1, r, k - m);}    public Node getInterval(Node p[], int id, int l, int r){        Node t = new Node();        long max = Long.MIN_VALUE;        long min = Long.MAX_VALUE;        for(int i = l; i <= r; i++){            if(max < p[i].x[id]) max = p[i].x[id];            if(min > p[i].x[id]) min = p[i].x[id];        }        t.x[0] = min;        t.x[1] = max;        return t;    }        public long getDist(Node a, Node b){        return (a.x[0] - b.x[0]) * (a.x[0] - b.x[0]) + (a.x[1] - b.x[1]) * (a.x[1] - b.x[1]);    }    public void Build(Node p[], int l, int r){        if(l > r) return;        Node t1 = getInterval(p, 0, l, r);        long minx = t1.x[0];        long maxx = t1.x[1];                Node t2 = getInterval(p, 1, l, r);        long miny = t2.x[0];        long maxy = t2.x[1];                int mid = (l + r) >> 1;        d[mid] = (maxx - minx > maxy - miny);                BFPTR(p, d[mid] ? 0 : 1, l, r, mid - l + 1);                Build(p, l, mid - 1);        Build(p, mid + 1, r);    }        public void Find(Node p[], Node t, int l, int r){        if(l > r) return;        int mid = (l + r) >> 1;                long dist = getDist(p[mid], t);        long df = d[mid] ? (t.x[0] - p[mid].x[0]) : (t.x[1] - p[mid].x[1]);                if(dist > 0 && dist < res){            res = dist;            index = mid;        }                int l1 = l;        int r1 = mid - 1;        int l2 = mid + 1;        int r2 = r;        if (df > 0){            l1 ^= l2;            l2 ^= l1;            l1 ^= l2;                        r1 ^= r2;            r2 ^= r1;            r1 ^= r2;        }        Find(p, t, l1, r1);        if (df * df < res) Find(p, t, l2, r2);    }        public void Build(){        Build(p, 0, size - 1);    }        public int Search(Node t){        clear();        Find(p, t, 0, size - 1);        return index;    }        public static void main(String[] args){        Scanner cin = new Scanner(System.in);        int t = cin.nextInt();        Main kd = new Main(SIZE);Node[] node = new Node[SIZE];for(int i = 0; i < SIZE; i++){ node[i] = kd.new Node();}        while(t-- > 0){            int n = cin.nextInt();            kd.setSize(n);            for(int i = 0; i < n; i++){                node[i].x[0] = cin.nextLong();                node[i].x[1] = cin.nextLong();                kd.Insert(i, node[i]);            }            kd.Build();            for(int i = 0; i < n; i++){                int id = kd.Search(node[i]);                System.out.println(kd.getDist(kd.get(id), node[i]));            }        }            }}

4. K-D树的开源框架介绍

 

   K-D树的一个比较好的C++框架可以戳这里。下载后，可以参考里面的examples文件夹中的代码学习使用。