算法导论：回文子串（Manacher）算法 ，O(n)时间效率实现

问题描述：

输入一个字符串，求出其中最大的回文子串。子串的含义是：在原串中连续出现的字符串片段。回文的含义是：正着看和倒着看相同，如abba和yyxyy。

解析：

这里介绍O(n)回文子串（Manacher）算法

算法基本要点：首先用一个非常巧妙的方式，将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度：

在每个字符的两边都插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#。

为了进一步减少编码的复杂度，可以在字符串的开始加入另一个特殊字符，这样就不用特殊处理越界问题，比如$#a#b#a#。
下面以字符串12212321为例，经过上一步，变成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";

然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]），比如S和P的对应关系：

S     #  1  #  2  #  2  #  1  #  2  #  3  #  2  #  1  #
P     1  2  1  2  5  2  1  4  1  2  1  6  1  2  1  2  1
(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）

下面计算P[i]，该算法增加两个辅助变量id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx则为id+P[id]，也就是最大回文子串的边界。

这个算法的关键点就在这里了：如果mx > i，那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。

具体代码如下：

if(mx > i){      p[i] = (p[2*id - i] < (mx - i) ? p[2*id - i] : (mx - i));}else{       p[i] = 1;}

当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。

当 P[j] > mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能一个一个匹配了。

对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了

下面给出原文，进一步解释算法为线性的原因

源代码：

#include <iostream>#include <string>#include <cstring>using namespace std;void findBMstr(string& str){    int *p = new int[str.size() + 1];    memset(p, 0, sizeof(p));    int mx = 0, id = 0;    for(int i = 1; i <=  str.size(); i++)    {        if(mx > i)        {            p[i] = (p[2*id - i] < (mx - i) ? p[2*id - i] : (mx - i));        }        else        {            p[i] = 1;        }        while(str[i - p[i]] == str[i + p[i]])            p[i]++;        if(i + p[i] > mx)        {            mx = i + p[i];            id = i;        }    }    int max = 0, ii;    for(int i = 1; i < str.size(); i++)    {        if(p[i] > max)        {            ii = i;            max = p[i];        }    }    max--;    int start = ii - max ;    int end = ii + max;    for(int i = start; i <= end; i++)    {        if(str[i] != '#')        {            cout << str[i];        }    }    cout << endl;    delete  p;}int main(){    string str = "12212321";    string str0;    str0 += "$#";    for(int i = 0; i < str.size(); i++)    {        str0 += str[i];        str0 += "#";    }    cout << str0 << endl;    findBMstr(str0);    return 0;}

执行结果：