hdu 1066 数论+递归

起首引用下leemars的呈报：

这道题请求N!的最后一个非0数字是几许，若是用一般作法，先统计2和5的个数，然
后补乘2，获得的将是TLE。所以还须要再做简化：
为了把0去掉，我们把所有的因数2和5都提出来，放到最后再处理惩罚。N!中的N个相乘的
数可以分成两堆：奇数和偶数。偶数相乘可以写成（2^M）*（M!），M=N DIV 2。M!可以
递归处理惩罚，是以如今只需评论辩论奇数相乘。推敲1*3*5*7*9*11*13*15*17* ... *N（若是
N为偶数则是N-1），这里面是5的倍数的有5，15，25，35，... ，可以此中的5提出来
，变成（5^P）*（1*3*5*7*9* ... ），后面括号中共P项，P=（N DIV 5+1） DIV 2，而后
面的括号又可以持续提5出来，递归处理惩罚。如今剩下的数是1 * 3 * 7 * 9 * 11 * 13
* 17 * 19 * ... 。这些数我们只须要他们的个位数，因为（1 * 3 * 9 * 11 * 13
* ... ） MOD 10 = （1 * 3 * 7 * 9 * 1 * 3 * ... ） MOD 10。我们列出余数表，
1 3 1 9 9 7 9 1 1 3 1 9 9 7 9 ……。我们发明每八项MOD 10的成果是一个轮回。
算出奇数的成果后，我们再回头看统计了几许个2和5须要乘入。把2和5配对完都是N
!后面的0，看剩下的2有几个。若是有剩下的2，推敲2^N的个位数又是2 4 8 6 2 4
8 6 ……每四项一个轮回，找出这个个位数后，和前面的成果相乘，再取个位数就是
答案。因为我们完全把2和5的身分别的处理惩罚，所以在所有的乘法中，都只须要策画个位数乘法，并且只保存个位数的成果。

但让我很惊奇的是：为什么我提交老是WA？后来我才知道，原因是这道题的N相当大
！达到了10^100！要用大数来处理惩罚！GPC四项编译开关全关的，天然查不出来！并且
上方这个算法换成大数后会很麻烦。还有什么此外好办法吗？
答案是有的。我们设F（N）默示N!的尾数。
先推敲简单的。推敲某一个N!（N < 10），我们先将所有5的倍数提出来，用1庖代本来
5的倍数的地位。因为5的倍数全被提走了，所以如许就不会呈现尾数0了。我们先把
0..9的阶乘的尾数列出来（重视，5的倍数的地位上是1），可以获得table[0..9] =
（1， 1， 2， 6， 4， 4， 4， 8， 4， 6）。对于N < 5，直接输出table[N]即可；对于N >
= 5，因为提出了一个5，是以须要一个2与之配成10，即将尾数除以2。重视到除了0
!和1!，阶乘的最后一个非零数字必为偶数，所以有一个很特此外除律例律：2 / 2
= 6，4 / 2 = 2，6 / 2 = 8，8 / 2 =　4。斗劲特别的就是2 / 2 = 12 / 2 = 6，
6 / 2 = 16 / 2 = 8。如许我们就可以获得如下式子：
代码:
               table[N]
F（N） = ------------ （0 <= N < 10）
               2^（[N/5]）
再推敲错杂的。推敲某一个N!（N >= 10），我们先将所有5的倍数提出来，用1庖代原
来5的倍数的地位。因为5的倍数全被提走了，所以如许就不会呈现尾数0了。我们观
察一下剩下的数的乘积的尾数，经由过程table表，我们发明这10个数的乘积的尾数是6，
6 * 6的尾数还是6，是以我们将剩下的数每10个分成一组，则剩下的数的乘积的尾数
只与最后一组的景象有关，即与N的最后一位数字有关。因为我们把5的倍数提出来了
，N!中一次可以提出[N/5]个5的倍数，有几许个5，就须要有几许个2与之配成10，所
以有几许个5，最后就要除以几许个2。重视到除2的成果变更是4个一轮回，是以若是
有A个5，只须要除（A MOD 4）次2就可以了。A MOD 4只与A的最后两位数有关，很好求
算。剩下的5的倍数，因为5已经全部处理惩罚掉了，就变成[N/5]!。于是，我们可以获得
一个递归关系：
代码:
               F（[N/5]） * table[N的尾数] * 6
F（N） = ----------------------------------- （N > 10）
               2^（[N/5] MOD 4）
如许我们就获得了一个O（log5（N））的算法，整除5可以用高精度加法做，乘2再除10即
可。全部算法相当奇妙，写起来也斗劲轻松。

因为 2^N 是以4为轮回节的

并且table[N]是以10为轮回节的

所以从10开端

               F（[N/5]） * table[N的尾数] * 6
F（N） = ----------------------------------- （N > 10）
               2^（[N/5] MOD 4）

右边的式子除了F[n/5]外 是以20为轮回节的

写出轮回的末尾数字mod[20]={1，1，2，6，4，2，2，4，2，8，4，4，8，4，6，8，8，6，8，2}

整体思路解决了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<string>
#define LL long long
using namespace std;
int mod[20]={1,1,2,6,4,2,2,4,2,8,4,4,8,4,6,8,8,6,8,2};
int main(  )
{
    char str[1024];
    int num[1024];
    while( scanf( "%s",str )==1 )
    {
          int len = strlen( str ),ans=1;
          for( int i = 0 ; i < len ;  i++ )
               num[i] = str[len-i-1] - '0';
          while( len )
          {
             len -= !num[len-1];
             ans = ans*mod[num[1]%2*10 + num[0]]%10;
             for( int i = len -1,c=0;i >=0 ; i -- ){
                    c = c*10 + num[i];
                    num[i] = c/5;//倍数
                    c %= 5;//余数
                    }   
          }   
          printf( "%d\n",ans );
    }
    //system( "pause" );
    return 0;
}