霍夫曼编码压缩

哈夫曼编码步骤：

一、对给定的n个权值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}构成n棵二叉树的初始集合F= {T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点，它的左右子树均为空。（为方便在计算机上实现算 法，一般还要求以Ti的权值Wi的升序排列。）
二、在F中选取两棵根结点权值最小的树作为新构造的二叉树的左右子树，新二叉树的根结点的权值为其左右子树的根结点的权值之和。
三、从F中删除这两棵树，并把这棵新的二叉树同样以升序排列加入到集合F中。
四、重复二和三两步，直到集合F中只有一棵二叉树为止。

简易的理解就是，假如我有A,B,C,D,E五个字符，出现的频率（即权值）分别为5,4,3,2,1,那么我们第一步先取两个最小权值作为左右子树构造一个新树，即取1，2构成新树，其结点为1+2=3，如图：

虚线为新生成的结点，第二步再把新生成的权值为3的结点放到剩下的集合中，所以集合变成{5,4,3,3}，再根据第二步，取最小的两个权值构成新树，如图：

再依次建立哈夫曼树，如下图：

其中各个权值替换对应的字符即为下图：

所以各字符对应的编码为：A->11,B->10,C->00,D->011,E->010

霍夫曼编码是一种无前缀编码。解码时不会混淆。其主要应用在数据压缩，加密解密等场合。

我们直接来看示例，如果我们需要来压缩下面的字符串：

 “beep boop beer!” 

首先，我们先计算出每个字符出现的次数，我们得到下面这样一张表 :

然后，我把把这些东西放到Priority Queue中（用出现的次数据当 priority），我们可以看到，Priority Queue 是以Prioirry排序一个数组，如果Priority一样，会使用出现的次序排序：下面是我们得到的Priority Queue：

接下来就是我们的算法——把这个Priority Queue 转成二叉树。我们始终从queue的头取两个元素来构造一个二叉树（第一个元素是左结点，第二个是右结点），并把这两个元素的priority相加，并放回Priority中（再次注意，这里的Priority就是字符出现的次数），然后，我们得到下面的数据图表：

同样，我们再把前两个取出来，形成一个Priority为2+2=4的结点，然后再放回Priority Queue中 :

继续我们的算法（我们可以看到，这是一种自底向上的建树的过程）：

最终我们会得到下面这样一棵二叉树：

此时，我们把这个树的左支编码为0，右支编码为1，这样我们就可以遍历这棵树得到字符的编码，比如：‘b’的编码是 00，’p’的编码是101， ‘r’的编码是1000。我们可以看到出现频率越多的会越在上层，编码也越短，出现频率越少的就越在下层，编码也越长。

最终我们可以得到下面这张编码表：

这里需要注意一点，当我们encode的时候，我们是按“bit”来encode，decode也是通过bit来完成，比如，如果我们有这样的bitset “1011110111″ 那么其解码后就是 “pepe”。所以，我们需要通过这个二叉树建立我们Huffman编码和解码的字典表。

这里需要注意的一点是，我们的Huffman对各个字符的编码是不会冲突的，也就是说，不会存在某一个编码是另一个编码的前缀，不然的话就会大问题了。因为encode后的编码是没有分隔符的。

于是，对于我们的原始字符串  beep boop beer!

其对就能的二进制为 : 0110 0010 0110 0101 0110 0101 0111 0000 0010 0000 0110 0010 0110 1111 0110 1111 0111 0000 0010 0000 0110 0010 0110 0101 0110 0101 0111 0010 0010 0001

我们的Huffman的编码为： 0011 1110 1011 0001 0010 1010 1100 1111 1000 1001

从上面的例子中，我们可以看到被压缩的比例还是很可观的。