动态规划之钢条 切割

1. 问题描述
   假设有长度为n寸的钢管，我们可以切割这段钢管以获得最大的利益（假设切割钢管无花费），价格表pi已知，问如何切割才能是销售收益rn最大。
   
2. 解决方案
   对于这个问题我们可以使用递归的方式来解决。

    public static int CUT_ROD(int[] p, int n){        if(n == 0){            return 0;        }        int q = -1;        for(int i = 1; i <= n; i++){            q = Math.max(q, p[i] + CUT_ROD(p, n-i));        }        return q;    }

完成首次切割后，我们将两段钢条看成是两个独立的钢条切割问题，我们通过组合两个相关子问题的最优解来选取组合收益最大者。
虽然递归的方法可以求解该问题，但是仔细分析我们发现递归过程中我们求解的某些子问题是相同的，规模也是一样的。我们可以在求解的过程中将子问题的解保留下来，以便于下次碰到相同的子问题可以直接使用。

public static int MEMOIZED_CUT_ROD(int[] p, int n){        int[] r = new int[n + 1];        for(int i = 0; i < r.length; i++){            r[i] = -1;        }        return MEMOIZED_CUT_ROD_AUX(p, n, r);    }    public static int MEMOIZED_CUT_ROD_AUX(int[] p, int n, int[] r){        if(r[n] >= 0)            return r[n];        int q = -1;        if(n == 0)            q = 0;        else {            for(int i = 1; i <= n; i++){                q = Math.max(q, p[i] + MEMOIZED_CUT_ROD_AUX(p, n-i, r));            }        }        r[n] = q;        return q;    }

上面这种方法称作带备忘的自顶向下发，此方法仍自然的递归形式编写过程，但过程会保存每个子问题的解，当需要一个子问题的解时，过程首先检查是否已经保存过此解。

public static int BOTTOM_UP_CUT_ROD(int[] p, int n){        int[] r = new int[n + 1];        r[0] = 0;        for(int i = 1; i <= n; i++){            int q = -1;            for(int j = 1; j <=i; j++){                q = Math.max(q, p[j] + r[i-j]);            }            r[i] = q;        }        return r[n];    }

上面的方法称为自低向上法，该方法一般需要恰当定义子问题“规模”的概念，使得任何子问题的求解都只依赖于“更小的”子问题的求解。

1. 总结
   动态规划个递归十分相似，动态规划的子问题是可以重复的，递归的子问题一般是规模逐渐减小的。