排列与组合的区别

排列的定义：从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。

排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。

组合的定义：从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，

称为从n个中取r个的无重组合。

组合的个数用C(n,r)表示 

排列与组合最基本的公式：

 

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先来看三个简单的例子

例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数  ,能组成几个?

解析：这显然是一个排列的问题，答案即为P(9, 6)=9!/3!

例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？

解析：这个就是组合的问题，答案为C（9，6）

例3：将字母表中的26个字母排排序，使得元音字母a,e,i,o,u中任意两个都不能连续出现，这种排序方法的总数是多少？

解析：可以分两步进行，第一步先排21个辅音字母，这是一个全排列的问题，即21！；第二步把剩下的5个元音字母插入前面排好序的22个位置上，

即P（22,5）,根据乘法原理，答案为21!*P(22,5)。

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例3的排列叫做线性排列。如果把对象排成一个圈，那么排列的数目就会减少，因为重要的是元素彼此间的相对位置，

而不是绝对位置。只要一种排列可以通过旋转与另一个排列重合，我们就称这两个排列是相同的。

下面引出一个定理：

n个元素集合的循环r排列的数目是P(n,r)/r,特别的，n个元素的循环排列的数目是(n-1)!

再来看一个例子

例4：10个人要围坐一圆桌，其中有两个人不愿意彼此挨着，共有多少种圆形座位设置方法？

解析：用减法原理。10个人围坐圆桌的座位设置一共有9！种；设这两个人为X，其他人为P3,P4...,P10,那么这9个人X,P3,P4...,P10围坐圆桌的座位设置一共有8！种，

又因为这两个人可以调换位置。因此最后的答案是9!-2*8!。

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下面引入一个重要的组合定理，帕斯卡公式：

对于所有满足1<=k<=n-1的整数n和k，有 C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1)

另外还有一个非常有用的结论也需要记住：对于n>=0,有C(n,0) + C(n,1)+ C(n,2) + ... +C(n,n) =2的n次方

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下面介绍多重集合的排列

首先介绍一个重要的定理：

设S是多重集合，它有k种不同的对象，且每一种类型的有限重复数分别为n1,n2,...,nk.设S的大小为n=n1+n2+...+nk.则S的排列数目为n!/n1!*n2!*...*nk!.

例5：词MISSISSIPPI中的字母的排列数是多少？

解析：结果为多重集合{1*M, 4*I, 4*S, 2*P}的排列数，因此结果是11!/1!*4!*4!*2!.

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下面介绍多重集合的组合

首先介绍一个重要的定理：

设S是有k种类型对象的多重集合，每种元素均具有无限的重复数，那么S的r组合的个数等于C(r+k-1,r) = C(r+k-1,k-1).

例6：方程x1+x2+x3+x4=20的整数解的个数是多少？其中x1>=3,x2>=1,x3>=0,x4>=5.

解析：令y1=x1-3,y2=x2-1,y3=x3,y4=x4-5,此时方程变为y1+y2+y3+y4=11,新方程的非负整数解的个数也是原来方程非负整数解的个数，等于C(11+4-1,11)=C(14,11)=364.

完