阿里巴巴面试——重男轻女概率题

重男轻女概率题
引言:
这是一个比较经典的概率题目，在华工研究生入学复试的时候就考过，据说中科院的也比较喜欢问这个问题，前些天在阿里巴巴的笔试题上也见到了这道题。在百度上找到的答案也是各种各样，所以结合自己的分析，照着自己的理解把证明过程写出来，如果有不正确的地方欢迎指正。
问：有这样一个重男轻女的国家，他们每对夫妇如果生出女孩就继续生直到生出男孩为止就不再继续，平均每户人家有几个女孩？问这个国家的人口比例为多少？

证：不妨设人口的基数为1，由题目可以得到一个很直观的图：

那么我们可以转换下面形式
第1代： 的概率生下一个男生
第2代： 的概率生下一个男生和女生
…..
第n代: 的概率生下一个男生和（n-1）个女生
所以，事件生下一个男孩的概率为：,意味着平均每户人家必能生出一个男孩，符合题目给出的直到生出男孩为止。

由于生下女孩的个数X是一个随机变量，其分布律为（其中,P为概率,X为生下女孩的个数）：

那么生下女孩个数的数学期望为：

也就是说，平均每户人家生下女孩的个数为1.
综上所述，我们还可以得到该国男女的比例为1:1.