【Financail Markets】3. Spot Rate Curve及衍生出的Par Yield Curve和Instantaneous Forward Curve 【基于ECB数据】

这篇文章的基础是欧洲央行官网的 yield curve technical notes，主要目的是写一下yield curve是如何计算得出的。

1. yield curve是一系列bond的收益率（的拟合曲线），这些bond都是欧洲政府发行的国债，这些国债需要满足若干条件：

1）在外发行总量必须大于 €5 billion

2）只选取zero coupon bond和fixed coupon bond，其他的像inflation related bond之类的都排除在外

3）债券的bid-ask spread必须小于3 bp

4）债券到期日期从3个月到30年

5）yield curve的credit risk分为两级：

a）只有AAA级政府债券

b）既有AAA级也有其他级政府债券

2. Spot Rate 的计算模型：

1）欧洲央行采用参数模型 Svensson Model，并且使用连续贴现模式，估计是用最小二乘法。

其中z是spot rate（input）；Beta1、2、3和 tao 1、tao 2 是需要估计的参数，TTM是期限。

2）Instantous Forward rate 和 Spot rate的关系：

构想两种策略：

a. 在0时刻投资1欧元，直至 TTM 时刻，收获：。

b. 在0时刻投资1欧元，直至 t 时刻，收获：，再将这笔收入投入，至 TTM 时刻总共收获。

在无套利环境下，两者的最终受益应当相同，因此：

（ECB 官网上的技术纪要里面并没有黄色高亮这一项，刚刚发邮件去问他们，等他们回复吧。）

于是，我们将上式对于TTM求导（瞬时Forward Rate），得到：

，表示的是在0时刻得到的 TTM时刻的瞬时远期利率（short rate）。 

3. Spot Rate 和 Par yield curve 是不同的，使用Spot Rate 可以导出 Par Yield Curve 和 Instantanous Forward Curve!

4. 最后上一张图，给点Instantaneous Forward Rate 和 Spot Rate的关系（图里面的Forward也没标，先不看他）。