【BZOJ 2219】【超详细题解】数论之神

2219: 数论之神

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Description

在ACM_DIY群中，有一位叫做“傻崽”的同学由于在数论方面造诣很高，被称为数轮之神！对于任何数论问题，他都能瞬间秒杀！一天他在群里面问了一个神题: 对于给定的3个非负整数 A,B,K 求出满足 (1) X^A = B(mod 2*K + 1) (2) X 在范围[0, 2K] 内的X的个数！自然数论之神是可以瞬间秒杀此题的，那么你呢？

Input

第一行有一个正整数T,表示接下来的数据的组数( T <= 1000) 之后对于每组数据，给出了3个整数A,B,K (1 <= A, B <= 10^9, 1 <= K <= 5 * 10^8)

Output

输出一行，表示答案

Sample Input

3

213 46290770 80175784

3 46290770 80175784

3333 46290770 80175784

Sample Output

27

27

297
HINT

新加数组一组–2015.02.27

Source

数论 鸣谢 AekdyCoin

中国剩余定理+阶+原根+指标+扩展欧几里得~

首先说说概念:

1.【阶】
满足ax≡1(modp) 的最小的x是a关于p的阶。
记作δ(a)=x

2.【原根】
若δ(g)=φ(p)，则称g是p的原根。

（1）只有1,2,4,pk,2∗pk（p是奇素数）有原根。

（2）p的原根个数为φ(φ(p))
（证明见这里）

（3）p>1,φ(p)所有不同的因数为p1,p2,…,pk，(g,m)=1，则g是模p的原根的充要条件是：gpi≡1(modp)对于所有的pi都不成立
（这也是原根的求法）

3.【指标】
若gr≡a(modp)成立，则称r是以g为底的a对模m的一个指标。
记作r=inda

（1）a≡b(modp)⇔inda≡indb(modφ(p))

（2）ind(a∗b)≡inda+indb(modφ(p))

（3）ind(an)≡n∗inda(modφ(p))

（4）指标的求法：
先求出p的原根g，然后用BSGS求出ga≡b(modp)中的a
（BSGS详见这里）

接下来说这道题。。

求方程xA≡B(modP)的解的个数。

设P=pa11pa22…pakk，那么原方程的解的个数就是xA≡B(modpaii)的解的个数的乘积。

为什么呢？

对于每一个xA≡B(modpaii)方程我们从中选出一个解xi。

可以求出xi mod paii的解为wi。

设原方程的解为X，则X≡wi(modpaii)。

于是形成了k个同余方程，根据中国剩余定理，一组同余方程对应一个X的解。

那么一共有xA≡B(modpaii)的解的个数的乘积个选法，就有对应的这么多的解。

于是问题变成了求xA≡B(modpa)的解的个数。

分三种情况讨论：

1.(pa,B)=B

此时原方程变成了

xA≡0(modpa)

设x=pt，那么要求t∗A≥a。
那么最小的t=⌊a−1A⌋+1。
此方程的解的个数为

pa−(⌊a−1A⌋+1)

2.(pa,B)>1

设B=pcnt∗b，原方程变为

xA≡pcnt∗b(modpa)

（1）如果cnt mod A≠0，此方程无解。
（2）否则把方程转化为

(xpcntA)A≡b(modpa−cnt)

由于此时(pa−cnt,b)=1，方程转化成了第三种情况~

⋆⋆⋆仅仅这样做是不够的!
在原式中x的取值范围是[0,pa)，那么xpcntA的取值范围就是[0,pa−cntA)；

可是在后一个式子中xpcntA的取值范围变成了[0,pa−cnt)！！

因此我们需要在结果之后乘上pcnt−cntA

3.(pa,B)=1

此时的方程是

xA≡B(modpa)

我们利用前面说的指标的性质可以将此方程转化为

A∗indx≡indB(modφ(pa))

利用BSGS求出indB，又因为indx对应着一个x，那么方程就变成了

ax≡b(modp)

原方程解的个数对应上面那个方程的解的个数！！
（1）如果b mod gcd(a,p)≠0则无解；
（2）否则解的个数为gcd(a,p)。

吼吼，第一次用Mathjax和markdown写博客~

#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstring>#include <cstdio>#include <cmath>#include <cstdlib>#define inf 1e17#define LL long long#include <map>using namespace std;map<LL,LL> mp;struct data{    LL p,c,pc;}a[100005];int num,cnt;LL f[100005];void Chai(int x){    num=0;    for (int i=2;i<sqrt(x+0.5);i++)        if (x%i==0)        {            a[++num].p=i;            a[num].c=0,a[num].pc=1;            while (x%i==0)                x/=i,a[num].c++,a[num].pc*=i;            if (x==1) break;        }    if (x!=1)        a[++num].p=x,a[num].pc=x,a[num].c=1;}LL Pow(LL x,LL n,LL mod){    LL ans=1,b=x;    while (n)    {        if (n&1)            ans=ans*b%mod;        b=b*b%mod;        n>>=1LL;    }    return ans;}LL GetPrimitiveRoot(LL p,LL phi){    int c=0;    for (int i=2;i*i<=phi;i++)        if (phi%i==0)            f[++c]=i,f[++c]=phi/i;    for (int g=2;;g++)    {        int j;        for (j=1;j<=c;j++)            if (Pow(g,f[j],p)==1) break;        if (j==c+1) return g;    }    return 0;}void exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y){    if (!b)    {        d=a,x=1,y=0;        return;    }    exgcd(b,a%b,d,y,x);    y-=x*(a/b);}LL BSGS(LL A,LL B,LL C){    int m=ceil(sqrt(C+0.5));    mp.clear();    LL now=1;    for (int i=1;i<=m;i++)    {        now=now*A%C;        if (!mp[now]) mp[now]=i;    }    mp[1]=0;    A=Pow(A,m,C);    now=1LL;    for (int i=0;i<=m;i++)    {        LL d,x,y;        exgcd(now,C,d,x,y);        x=(x*B%C+C)%C;        if (mp.count(x)) return i*m+mp[x];        now=now*A%C;    }    return 0;}LL Gcd(LL a,LL b){    if (!b) return a;    return Gcd(b,a%b);}LL Solve(LL A,LL B,LL k){    LL phi=a[k].pc-a[k].pc/a[k].p,g=GetPrimitiveRoot(a[k].pc,phi);    LL ind=BSGS(g,B,a[k].pc);    LL ans=Gcd(phi,A);    if (ind%ans) return 0;    return ans*Pow(a[k].p,cnt-cnt/A,inf);}int main(){    int T;    scanf("%d",&T);    while (T--)    {        LL A,B,k;        scanf("%lld%lld%lld",&A,&B,&k);        LL p=2*k+1;        Chai(p);        LL ans=1;        for (int i=1;i<=num;i++)        {            if (!ans) break;            if (B%a[i].pc==0)                ans=ans*Pow(a[i].p,a[i].c-(a[i].c-1)/A-1,inf);            else            {                int b=B;                cnt=0;                while ((b%a[i].p)==0)                    b/=a[i].p,                    a[i].pc/=a[i].p,                    a[i].c--,cnt++;                if (cnt%A) ans=0;                else ans=ans*Solve(A,b,i);            }        }        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}

感悟：

1.WA是因为求原根的地方我没有对p取模

2.分类讨论+原根和指标的应用~

3.UPD：
①a关于p的阶x为什么一定是φ(p)的因数？

假设p=kx+r且r≠0 r<x，那么ax≡ar≡1(modp)，与阶的定义（最小的模p余1的数）矛盾

②p与他的原根g一定互质吗？

一定的。
原根与欧拉定理aφ(p)≡1(modp)是密不可分的，欧拉定理规定(a,p)=1。

如果(a,p)=k且k>1，那么(aφ(p),p)=(p,aφ(p)%p)≥k。
显然不符合欧拉定理。

③为什么p的原根一定是pa的原根？？