分装备问题

概率

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问题描述
假设打一个怪可能掉落n种装备，其概率分别为p1，p2，p3...pn，假设∑nk=1pi=1，则玩家收集齐n个装备需要打怪的期望次数x为多少？

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求解思路
设第一个掉落的装备为ki时期望为Ei，最终需要求的期望为E。

E=f(P)

E=∑i=1npi∗Ei

Ei=1+(11−pi∗f(norm(P−pi)))

其中f表示在概率分布为P的情况下求解E的方程，norm(P−pi)表示概率集合P剔除pi后的归一化概率概率集合。

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解释
对于Ei，由于已经确定第一个掉落的是装备ki，因此其值至少为1.再假设从此以后不再掉落装备ki，则集齐剩余部分的期望Ee=f(norm(P−pi))。再考虑有掉落ki的情况下，实质上相当于在不掉落k_i的情况下下每次以pi的概率插入一个装备，其值为pi∗Ee。对这部分插入的装备，又会以pi的概率插入装备k，其值为p2i∗Ee，不断递推，可以得到最终公式Ei=(1+pi+p2i...pni)∗Ee=1−pni1−pi∗Ee，当n趋于无穷时可以得到

Ei=1+(11−pi∗Ee)

得到Ei后即可推算出E。

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程序

double solve(vector<double>& p)
{
    if(p.size() == 1)
        return 1/p[0];
    double ret = 0.0;
    for(int idx = 0; idx < p.size(); ++idx)
    {
        swap(p[idx], p[0]);
        vector<double> temp(p.begin()+1, p.end());
        double sum =accumulate(temp.begin(), temp.end(), 0.0);
        transform(temp.begin(), temp.end(), temp.begin(), [&sum](double x){return x/sum;});
        ret += p[0]*(1+1.0/(1-p[0])*solve(temp));
    }
    return ret;
}