大臣的旅费——第四届蓝桥杯省赛C语言A组第10题

问题描述

很久以前，T王国空前繁荣。为了更好地管理国家，王国修建了大量的快速路，用于连接首都和王国内的各大城市。

为节省经费，T国的大臣们经过思考，制定了一套优秀的修建方案，使得任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达。同时，如果不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。

J是T国重要大臣，他巡查于各大城市之间，体察民情。所以，从一个城市马不停蹄地到另一个城市成了J最常做的事情。他有一个钱袋，用于存放往来城市间的路费。

聪明的J发现，如果不在某个城市停下来修整，在连续行进过程中，他所花的路费与他已走过的距离有关，在走第x千米到第x+1千米这一千米中（x是整数），他花费的路费是x+10这么多。也就是说走1千米花费11，走2千米要花费23。

J大臣想知道：他从某一个城市出发，中间不休息，到达另一个城市，所有可能花费的路费中最多是多少呢？

输入格式

输入的第一行包含一个整数n，表示包括首都在内的T王国的城市数

城市从1开始依次编号，1号城市为首都。

接下来n-1行，描述T国的高速路（T国的高速路一定是n-1条）

每行三个整数Pi, Qi, Di，表示城市Pi和城市Qi之间有一条高速路，长度为Di千米。

输出格式

输出一个整数，表示大臣J最多花费的路费是多少。

样例输入1
5
1 2 2
1 3 1
2 4 5

2 5 4

样例输出1

135

输出格式

大臣J从城市4到城市5要花费135的路费。

解题思路：

该题是要求树的直径，即一个树的最长简单路。

直径的求法：两遍DFS (or BFS)

任选一点u为起点，对树进行DFS遍历，找出离u最远的点v；

以v为起点，再进行DFS遍历，找出离v最远的点w。则v到w的路径长度即为树的直径。

原问题可以在O(E)时间内求出


证明：对于任意点u，距离它最远的点v一定是最长路的一端。

如果u在最长路上，那么v一定是最长路的一端。可以用反证法：假设v不是最长路的一端，则存在另一点v’使得(u→v’)是最长路的

部分，于是len(u→v’) > len(u→v)。但这与条件“v是距u最远的点”矛盾。

如果u不在最长路上，则u到其距最远点v的路与最长路一定有一交点c，且(c→v)与最长路的后半段重合，即v一定是最长路的一端。

参考奇老师的代码：

#include<iostream>#include<vector>#include<utility>#include<queue>#include<cstring>#include<cstdio>using namespace std;#define INF 1000000009const int  N=1000005;vector<pair<int,int> > G[N];bool visit[N];int d[N];void init(){    memset(visit,0,sizeof(visit));}void dfs(int u){    visit[u]=1;    int size=G[u].size();    for(int i=0; i<size; i++)    {        int v=G[u][i].first;        if(!visit[v])        {            d[v]=d[u]+G[u][i].second;            dfs(v);        }    }}int main(){    int n;    cin>>n;    int u,v,w;    for(int i=0; i<n-1; i++)//注意是n-1行数据    {        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);        G[u-1].push_back(make_pair(v-1,w));        G[v-1].push_back(make_pair(u-1,w));    }    //第一遍    init();    for(int i=0; i<n; i++)        d[i]=(i==0?0:INF);    dfs(0);    int start=0;    int max=-1;    for(int i=0; i<n; i++)        if(d[i]>max&&d[i]!=INF)        {            max=d[i];            start=i;        }    //第二遍    init();    for(int i=0; i<n; i++)        d[i]=(i==start?0:INF);    dfs(start);    int ans=-1;    for(int i=0; i<n; i++)    {        if(d[i]>ans && d[i]!=INF)            ans=d[i];    }    ans=10*ans+ans*(ans+1)/2;    cout<<ans<<endl;    return 0;}