子模集合函数（Submodular set function）

子模函数是一个集合函数，有减小回转属性（diminishing returns ），适用于多种应用，包括近似算法，博弈理论（函数建模）和电网络。

定义

如果Ω是一个集合，一个子模函数是一个集合函数，  f:2Ω→R ，其中 2Ω 表示集合Ω的幂集，满足一下等式：

1.对所有X,Y⊆Ω，其中X⊆Y,则对所有x∈Ω∖Y有f(X∪{x})−f(X)≥f(Y∪{x})−f(Y).
2.对所有S,T⊆Ω有f(S)+f(T)≥f(S∪T)+f(S∩T).
3.对所有X⊆Ω,x1,x2∈Ω,我们有f(X∪{x1})+f(X∪{x2}≥f(X∪{x1,x2})+f(X).

子模函数的类型

单调性

对每一个T⊆S,有f(T)≤f(S). 单调子模型函数包括以下几种类型：

• 线性函数
  函数型如f(S)=∑i∈Swi 被称为一个线性函数。如果 ∀i,wi≥0,则函数f是单调的。
• 预算可加函数（Budget-additive function）
  函数形如f(S)=min(B,∑i∈Swi) 对于任意的的 wi≥0，B≥0 称为预算可加的。
• 收敛函数（Coverage function）
  令Ω={E1,E2,...,En} 是基本集Ω‘ 的集合。函数
• 熵
  令Ω={X1,X2,...Xn} 为随机变量的集合，对于任意的S⊆Ω,H(S) 是一个子模函数，其中H(S) 是随机变量集合S 的熵。
  -拟阵秩函数
  令Ω={e1,e2,...en} 作为一个定义拟阵的基本集。则拟阵的秩函数是一个子模函数。

非单调性

如对称函数，图像分割，互信息

优化问题

子模函数有属性类似于凸函数或者凹函数。因此考虑凸或凹函数的优化的优化问题同样可以考虑到子模函数上，即在一些约束下的最大化或最小化子模函数。
最简单的最小化问题是在无约束的情况下找到一个集合S⊆Ω 最小化子模函数，这个问题是可以计算的。
而对于子模函数的最大化问题通常的NP难的。如最大切割，最大覆盖问题可以被视为在合适约束下的通常最大化问题。通常这些问题的近似算法是基于如贪心算法或者是本地搜索算法。对于无约束下的最大化对称非单调子模函数符合1/2近似算法。如计算图的最大分割。对于最大化一个单调子模函数，在基数约束下符合1−1/e 近似算法。最大覆盖问题是这个的一个典型例子。