奇偶性剪枝

奇偶剪枝是数据结构的搜索中，剪枝的一种特殊小技巧。

现假设起点为(sx,sy)，终点为（ex,ey），给定t步恰好走到终点，

s

    

|

    

|

    

|

    

+

—

—

—

e

如图所示（“|”竖走，“—”横走，“+”转弯），易证abs(ex-sx)+abs(ey-sy)为此问题类中任意情况下，起点到终点的最短步数，记做step，此处step1=8；

s

—

—

—

  

—

—

+

 

|

+

   

|

    

+

—

—

—

e

如图，为一般情况下非最短路径的任意走法举例，step2=14；

step2-step1=6，偏移路径为6，偶数（易证）；

推广之，若 t-[abs(ex-sx)+abs(ey-sy)] 结果为非偶数（奇数），则无法在t步恰好到达；

返回，false；

反之亦反。

还是以这个为例子吧，现在我把矩阵填满 0 和 1

0

1

0

1

01

0

1

0

1

0

1

010

1

0101

0

1

0

1

0

我们现假设从 0 开始走，则不难证明，

从任意 0 走到任意 1 始终是奇数步；

从任意 0 走到任意 0 始终是偶数步；

引用描述里的“例子”， s 到 e 的最短步数为 t (当然你也可以理解成此时到终点刚好剩余 t 步等等)。

则，我们从 s 到 e 的步数之和(或者说总距离)总可以表示成 sum= t + extra ( extra>=0 )，其中 extra 表示额外的步数

比如“例子”里面的，做例1吧

s

—

—

—

  

—

—

+

 

|

+

   

|

    

+

—

—

—

e

此时 t=8，sum=14，所以我们容易得到 extra=6。也就是说按照这个走法，需要在最短的步数上再走额外的 6 步(先不用太在意这些偏移是在什么地方产生的)。

在来一个例2吧，

s

—

—

—

  

—

—

+

 

|

+

   

|

 +—e

+

—

—

  

此时，t=7，sum=15，所以我们也容易得到 extra=8。

根据理科生的天性，由这两个一般性的例子，我们很容易嗅察到 extra 都为偶数。先带着疑惑，

再来看我给的 0 、1 矩阵。

0

1

0

1

01

0

1

0

1

0

1

010

1

0101

0

1

0

1

0

设左上角坐标为（1，1），右下角坐标为（5，5）.

那么我们给的例1，

起点 s 的坐标为（1，1），此点为“0”；

终点 e 为（5，5），此点为“0”。

所以t=8，为偶数。

现在我们再倒过来看，从终点(也就是 e )出发，把最短步数 t=8 耗费掉，不妨这样走，

s

   +   

+

—   |   +—   

—

—

e

如图所示从 e （5，5）耗费 8 步走到了（1，5）点。

因为是从 0 走偶数步，所以走到的坐标也一定是 0 ，就像这里的（1，5）点是 0 一样。

又因为最短步数已经耗费掉了，所以不管怎样，从（1，5）再走回到起点 s 所用的步数总是最开始从起点 s 走到终点 e 所花的某一个额外步数 extra 。

注意到，（1，5）点和起点 s （1，1）都是 0，也就是说，这个 extra 必然是偶数！

再看例2，同样从终点 e 开始耗费 t=7 步，

则所到的点一定是 0 (不管她在哪里)，再从这个点回到起点 s ，所用的 extra 也必然是个偶数！

所以无论如何，sum= t + extra ( extra>=0 ) 中的 extra 都是一个偶数

那么我们就可以用公式 t-[abs(ex-sx)+abs(ey-sy)] 计算出extra是否为偶数来判断当前点能否恰好在这么多步到达终点了。

有的同学可能会说以 1 为 起点呢。。其实是一样的啦，自己去捣鼓吧。