R语言 | 多元回归分析中的对照编码（contrast coding） | 第一节 dummy variable（哑变量） 和 dummy coding

对于一个自变量是分类变量Categorical Factor的回归模型，需要为该Factor的每个Level创建dummy variable。Contrast Matrix把每个Level映射为dummy variable的值。

我们看一个例子来感性认识下dummy variable和contrast matrix。

我们使用R的dataset包里的ChickWeight数据集。Diet的Level是1,2,3,4。

建立Weight关于Diet的线性模型，从模型的summary的返回结果来看：

• Intercept是截距
• Diet2是第一个dummy variable。当Diet等于2，那么Diet2赋值为1，否则为0。以此类推Diet3，Diet4是对应于Level是3或4的dummy variable。
  • 对于Diet这一Categorical Variable（Factor），线性模型只能接受数值型变量，所以R会创建Diet2、Diet3、Diet4这几个dummy variable，并赋值数值，这样线性模型就能够计算系数。

那么，Diet2，Diet3，Diet4的赋值以及其通过建模后得到的系数是怎么来的呢？R语言通过Contrast Matrix来实现。

函数contrasts用来查看某个Factor的Contrast Matrix。一般情况下，对于有K个level的Factor，R会创建K-1个dummy variable，另外一个可以通过K-1个dummy variable推导出来。如下所示，Diet有4个Level（1,2,3,4），所以创建了Diet2，Diet3，Diet4三个变量。R根据这个对照矩阵进行dummy variable的赋值。当Diet=1时，（Diet2，Diet3，Diet4）=（0,0,0）；Diet=2，则（Diet2，Diet3，Diet4）=（1,0,0）；Diet=3，则（Diet2，Diet3，Diet4）=（0,1,0）；当Diet=4，则（Diet2，Diet3，Diet4）=（0,0,1）

赋值方法如下data frame所示

DietDiet2Diet3Diet41000210030104001

那么这种对dummy variable赋值的编码方式（即对照矩阵）究竟是什么意思？

继续以上述线性模型为例。该模型为 y = aDiet2 + bDiet3+cDiet4+d，其中a,b,c是Diet2，Diet3，Diet4的系数，d是截距。

当Diet=1时，y=d

当Diet=2时，y=aDiet2 + d = a + d

当Diet=3时，y=bDiet3 + d = b + d

当Diet=4时，y=cDiet4+d = c + d

也就是说d就是Diet1，而a、b、c则是Diet2、Diet3、Diet4分别相对于Diet1的偏移。

上述这种对照矩阵称为treatment，在R语言中，treatment是针对无序的名字型分类变量（nominal factor）的默认contrast。

Treatment又称为Dummy Coding，首先会选择一个Level作为参考组（通常是第一个Level作为reference group），然后用剩余的Level的应变量的均值分别与参考组的应变量的均值来进行比较。

那么这些系数的含义是什么？

针对于分类变量（Factor），反应变量（Response Variable，即应变量y）反映了在每个Level下的均值（mean）。

继续上例，我们计算在每个Level下weight的均值：

然后我们再看回归模型：weight =102.645 + 19.971Diet2 + 40.305 Diet3 + 32.617Diet4

当Diet = 1时，截距就是weight均值

当Diet = 2时，mean(weight|Diet=2) = 102.645 + 19.971 = 122.6167

...以此类推

也就是说系数a, b, c就是weight在各个水平下相对于截距的偏移，而这里截距就是参考组Diet1的weight的均值。

这个系数又称为效用（Utility），表面给定某Level，会对反应变量的提升（或减少）的幅度。比如，不考虑其他因素，当Diet=2，会对Weight有19.971的提升。