ZOJ 2112 Dynamic Rankings (动态区间第K大) （线段树套SBT+二分）

题目：支持修改数组元素的区间第k大。

看题解这道题是可以用树状数组套主席树做的，但是树状数组套主席树不优化空间的话，要140MB左右，这题只给了32MB。

没看懂怎么优化，只能用线段树套平衡树了，我写的是线段树套SBT，线段树的每个节点上的SBT存这个节点代表的区间的所有数。

修改操作就是对于叶节点到根的所有SBT删除旧元素再加入新元素，删除的元素把下标入栈，插入元素时优先从栈中取。

对于一个数M求它在[L,R]中的排名就是用线段树分段求每一段中小于M的数的个数最后再+1就是M的排名，

有了这个操作就可以二分法找到区间的第k大。空间的话，n=50000,SBT只要开  n*( ceil(log2(n)) +1 ) 的空间就可以了，大约85万。

二分的时候，先做了一个优化，先求出所有涉及的节点，以及区间内的最大值最小值，然后再二分，从910ms优化到了730ms。

代码：（730ms  16404KB）

#include <iostream>#include <cstdio>#include <stack>#include <algorithm>#include <vector> #include <cstring>#define inf 0x7fffffff#define maxn 50007#define maxnn 870007 #define ls l,m,rt<<1#define rs m+1,r,rt<<1|1using namespace std; stack<int> D;//被删节点标号 //SBTint L[maxnn],R[maxnn],S[maxnn],K[maxnn],IP;//左右子树，树中元素个数，键值，指针//左旋右旋 void zig(int &x){int t=R[x];R[x]=L[t];L[t]=x;S[t]=S[x];S[x]=S[L[x]]+S[R[x]]+1;x=t;}void zag(int &x){int t=L[x];L[x]=R[t];R[t]=x;S[t]=S[x];S[x]=S[L[x]]+S[R[x]]+1;x=t;}void level(int &x){//平衡函数 if(S[L[L[x]]]>S[R[x]]) {zag(x);level(R[x]);level(x);return;}if(S[R[R[x]]]>S[L[x]]) {zig(x);level(L[x]);level(x);return;}if(S[R[L[x]]]>S[R[x]]) {zig(L[x]);zag(x);level(L[x]);level(R[x]);return;}if(S[L[R[x]]]>S[L[x]]) {zag(R[x]);zig(x);level(R[x]);level(L[x]);return;}}void Insert(int &x,int v){//加入元素 if(!x) {//取新元素下标 if(D.empty()) x=++IP;else x=D.top(),D.pop();//赋值 L[x]=R[x]=0;S[x]=1;K[x]=v;return;}//递归 v <= K[x]?Insert(L[x],v):Insert(R[x],v);//更新，平衡 ++S[x];level(x);}bool Del(int &x,int v){//删除元素 if(!x) return 0;bool T=0;if(v==K[x]){//如果到了要删的节点 if(R[x]){//如果有右子树 zig(x);//左旋 T=Del(L[x],v);//递归删除左子树 S[x]-=T;level(x);//更新+平衡 return T;}//无右子树，直接令x=L[x]来删除x节点，注意回收x的空间 D.push(x);x=L[x];return 1;}//没到要删的节点，递归删除 T = v < K[x]?Del(L[x],v):Del(R[x],v);S[x]-=T;level(x);return T;}int getRank(int x,int v){//求v在树x中的排名 if(!x) return 1;return v <= K[x]?getRank(L[x],v):1+S[L[x]]+getRank(R[x],v);}//常规int n,m;//n数组元素个数，m操作个数 int A[maxn];//原数组 //线段树套平衡树，每个节点都是一颗SBT的根节点 int SBT[maxn <<2];//树根 int Max[maxn<<2],Min[maxn<<2],Minx,Maxx;//最大最小值vector <int> Roots;//预存当前区间需要用到的节点void build(int l,int r,int rt){//建树 for(int i=l;i<=r;++i) Insert(SBT[rt],A[i]);if(l==r) {Max[rt]=Min[rt]=A[l];return;}int m=(l+r)>>1;build(ls);build(rs);Max[rt]=max(Max[rt<<1],Max[rt<<1|1]);Min[rt]=min(Min[rt<<1],Min[rt<<1|1]);}void Find(int L,int R,int l,int r,int rt){//预处理区间信息if(L <= l && r <= R) {Roots.push_back(rt);Maxx=max(Maxx,Max[rt]);Minx=min(Minx,Min[rt]);return;}int m=(l+r)>>1;if(L <= m) Find(L,R,ls);if(R >  m) Find(L,R,rs);}void Change(int X,int C,int l,int r,int rt){//修改元素：删旧的，插入新的 Del(SBT[rt],A[X]);Insert(SBT[rt],C);if(l==r) {Max[rt]=Min[rt]=C;return;}int m = (l + r) >> 1;X <= m?Change(X,C,ls):Change(X,C,rs);Max[rt]=max(Max[rt<<1],Max[rt<<1|1]);Min[rt]=min(Min[rt<<1],Min[rt<<1|1]);}int main(void){int Test;scanf("%d",&Test);while(Test-->0){//初始化SBT L[0]=R[0]=S[0]=IP=0;while(!D.empty()) D.pop();memset(SBT,0,sizeof(SBT));//读取输入 scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&A[i]);//建树 build(1,n,1);//处理操作 for(int i=0;i<m;++i){char op;int s,t,k;scanf(" %c%d%d",&op,&s,&t);if(op=='C'){//修改，A[s]中是旧的数组值，更改完后更新A[s] Change(s,t,1,n,1);A[s]=t;}else{scanf("%d",&k);Minx=inf;Maxx=0;Roots.clear();Find(s,t,1,n,1);//预处理区间//二分查找 int L=Minx,R=Maxx+1;while(L+1 < R){//左闭右开[L,R)，求Rank=k的最大值 int M = (L + R) >> 1;int rank=1;for(int j=0;j<Roots.size();++j) rank+=getRank(SBT[Roots[j]],M)-1;if(rank <= k) L=M;else R=M;}printf("%d\n",L);}}}return 0;}