同余方程[组] 乘法模逆元 中国剩余定理【模板】

同余定义：

给定正整数M，若用M去除两个整数 a 和 b 所得余数相同，称 a 和 b 对模 m 同余，记作

a ≡ b (mod m)，并称该式为同余式；否则，称 a 和 b 对模 m 不同余。

同余定理：

1.a ≡ b (mod m)，当且仅当m | (a - b)。

2.a ≡ b (mod m)，当且仅当存在整数 k，使得a = b + k*m。

3.a ≡ a (mod m)。

4.若 a ≡ b (mod m)，则 b ≡ a (mod m)。

5.若 a ≡ b (mod m)，b ≡ c (mod m)，则 a ≡ c (mod m).

6.若 a、b、c 是整数，m 是正整数，且 a ≡ b (mod m)，则

a + c ≡ b + c (mod m)；a - c ≡ b - c (mod m)；a*c ≡ b*c (mod m)。

7.设 a、b、c、d 为整数，m 为正整数，若 a ≡ b (mod m)，则

a*x + c*y = b*x + d*y (mod m)，其中 x，y 为任意整数；

a*c ≡ b*d (mod m)；

a^n ≡ b^n (mod m)，其中n > 0；

f(a) ≡ f(b) (mod m)，其中 f(x) 为任一整系数多项式。

8.设a、b、c、d为整数，m为正整数，则：

若 a ≡ b (mod m)，且d | m，则 a ≡ b (mod d)；

若 a ≡ b (mod m)，则gcd(a，m) ≡ gcd(b，m)；

a ≡ b (mod mi) (1 <= i <= n)同时成立，当且仅当 a ≡ b (mod lcm(m1，m2，…，mn))；

9.若 a*c ≡ b*c (mod m)，且gcd(c，m) = d，则 a ≡ b (mod m/d)。

扩展欧几里得，求一组解x，y，使得gcd(a，b)  = d = a * x + b * y

void ExGcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){    if(b == 0)    {        x = 1;        y = 0;        d = a;    }    else    {        ExGcd(b,a%b,d,y,x);        y -= x*(a/b);    }}

扩展欧几里得，求所有解x，y，使得c = a * x + b * y

bool ModeEqual(int a,int b,int c)   //解a*x + b*y = c;a*x ≡ c(mod b){    int x,y,d,x0;    ExGcd(a,b,d,x,y);    if(c%d) return false;   //无解    x0 = x * (c/d) % b;    for(int i = 1; i < d; ++i)  //输出所有解        printf("%d\n",(x0+i*(b/d))%b);    return true;}

扩展欧几里得，求a关于n的逆元a^-1，使得a * a^-1 ≡ 1(mod n)

int ModInverse(int a,int n,int &d,int &x,int &y){    ExGcd(a,n,d,x,y);if(1 % d != 0)return -1;  //不存在模逆元int ans = x/d < 0 ? x/d + n : x/d;return ans;     //返回模逆元a^-1}

扩展欧几里得，求解x，满足同余方程组x ≡ Ri(mod Ai)

int ModEquals(int N)  //解方程组x ≡ Ri(mod Ai){    int a,b,d,x,y,c,A1,R1,A2,R2;    bool flag = 1;  //标记是否有解    scanf("%d%d",&A1,&R1);    for(int i = 1; i < N; ++i)    {        scanf("%d%d",&A2,&R2);        a = A1, b = A2, c = R2 - R1;        ExGcd(a,b,d,x,y);        if(c % d != 0)            flag = 0;        int t = b/d;        x = (x*(c/d)%t + t) % t;        R1 = A1 * x + R1;        A1 = A1 * (A2 / d);    }    if( !flag )  R1 = -1;    return R1;  //求出解，-1表示无解}

扩展欧几里得，求解x，满足高次同余方程A^x ≡ B(mod C)

#define LL __int64const int MAXN = 65535;struct HASH{    int a;    int b;    int next;}Hash[MAXN*2];int flag[MAXN+66];int top,idx;void ins(int a,int b){    int k = b & MAXN;    if(flag[k] != idx)    {        flag[k] = idx;        Hash[k].next = -1;        Hash[k].a = a;        Hash[k].b = b;        return;    }    while(Hash[k].next != -1)    {        if(Hash[k].b == b)            return;        k = Hash[k].next;    }    Hash[k].next = ++top;    Hash[top].next = -1;    Hash[top].a = a;    Hash[top].b = b;}int Find(int b){    int k = b & MAXN;    if(flag[k] != idx)        return -1;    while(k != -1)    {        if(Hash[k].b == b)            return Hash[k].a;        k = Hash[k].next;    }    return -1;}int GCD(int a,int b){    if(b == 0)        return a;    return GCD(b,a%b);}void ExGcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){    if(b == 0)    {        x = 1;        y = 0;        d = a;    }    else    {        ExGcd(b,a%b,d,y,x);        y -= x*(a/b);    }}int Inval(int a,int b,int n){    int x,y,d,e;    ExGcd(a,n,d,x,y);    e = (LL)x*b%n;    return e < 0 ? e + n : e;}int PowMod(LL a,int b,int c){    LL ret = 1%c;    a %= c;    while(b)    {        if(b&1)            ret = ret*a%c;        a = a*a%c;        b >>= 1;    }    return ret;}int BabyStep(int A,int B,int C) //解A^x ≡ B(mod C){    top = MAXN;    ++idx;    LL buf = 1%C,D = buf,K;    int d = 0,temp,i;    for(i = 0; i <= 100; buf = buf*A%C,++i)    {        if(buf == B)            return i;    }    while((temp = GCD(A,C)) != 1)    {        if(B % temp)            return -1;        ++d;        C /= temp;        B /= temp;        D = D*A/temp%C;    }    int M = (int)ceil(sqrt((double)C));    for(buf = 1%C,i = 0; i <= M; buf = buf*A%C,++i)        ins(i,buf);    for(i = 0,K = PowMod((LL)A,M,C); i <= M; D = D*K%C,++i)    {        temp = Inval((int)D,B,C);        int w;        if(temp >= 0 && (w = Find(temp)) != -1)            return i * M + w + d;    }    return -1;  //无解}

中国剩余定理：

简单描述：

已知 n%3=2，n%5=3，n%7=2，求n。
因为 n%3=2，n%5=3，n%7=2 且 3，5，7互质 （互质可以直接得到这三个数的最小公倍数）
令 x = n % 3 = 2，y = n%5=3，z = n%7=2。 
    使5*7*a 被3除余1，有35×2=70，即 a = 2； 
    使3*7*b 被5除余1，有21×1=21，即 b = 1； 
    使3*5*c 被7除余1，有15×1=15，即 c = 1。 
那么 n =(70×x+21×y+15×z) % lcm(3，5，7) = 23 这是n的最小解
其中，a 为 (5*7)^-1 mod 3，b 为 (3*7)^-1 mod 5，c 为 (3*5)^-1 mod 7。

一般描述：

若m1，m2，m3，…，mr是两两互素的正整数，则同余方程组

 x ≡ a1 (mod m1)

 x ≡ a2 (mod m2)

 x ≡ a3 (mod m3)

……

 x ≡ ar (mod mr)

有模M = m1*m2*m3*…*mr的唯一解，即为中国剩余定理。

解法：

令Mi = M/mi，因为m1，m2，m3，…，mr两两互素，因此 gcd(Mi，mi) = 1，即

MiPi ≡ 1 (mod mi)，那么解为 a1*M1*P1 + a2*M2*P2 + a3*M3*P3 + … + ar*Mr*Pr。

得到最小非负数解的算法：

int m[110],a[110];  //m[]和a[]对应x ≡ ai (mod mi)void ExGcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){    if(b == 0)    {        x = 1;        y = 0;        d = a;    }    else    {        ExGcd(b,a%b,d,y,x);        y -= x*(a/b);    }}int China(int r) // r为同于方程组个数{    int M = 1,Mi,x0,y0,d,ans = 0;    for(int i = 1; i <= r; ++i)        M *= m[i];    for(int i = 1; i <= r; ++i)    {        Mi = M / m[i];        ExGcd(Mi,m[i],d,x0,y0); //调用扩展欧几里得，见之前        ans = (ans + Mi*x0*a[i]) % M;    }    if(ans < 0)        ans += M;    return ans;}

中国剩余定理推论：

1.若a，b是正整数，那么gcd(2^a-1，2^b-1) = 2^gcd(a，b) - 1.

2. 2*a - 1，2*b - 1是互素的，当且仅当正整数a，b是互素的。