二叉树的基本性质、存储方式与遍历（Python实现）

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二叉树

二叉树（Binary Tree）是树的一种特殊形式，也就是每个节点之下最多拥有2个孩子，相应地若最多不超过M个孩子，那就成为M叉树，但实际上我们统称为多叉树。对于二叉树，常用的定理有四条：

• 深度为i的二叉树最多含有2i−1 个节点；
• 第i层至多有2i−1个节点；

• 对于任意一颗二叉树，若其终端节点数为n0,度为2的节点数为n2,则n0=n2+1。证明如下：

  （1）n=n0+n1+n2
  （2）n=B+1（B为分支总数）
  （3）B=n1+2n2
  由上述三式即可得出此定理。

• 对于一棵完全二叉树（除最后一层外每一层都为满二叉树）而言，其叶子节点数具有以下关系：
  n0=n2（当n为偶数时）或n+12（当n为奇数时）

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二叉树的存储

在将二叉树的存储之前，我们先了解一下树的存储方式，常用输的存储方式有三种，在介绍之前，我们先把树的例子放出来，再来看各种存储方式的不同。

• 双亲表示法
  所谓双亲表示法就是会设置一个指示器来指向其双亲所在的位置。那么我最终应当会存储为一个如下的数组：
  
  
  • 优点：Parent(T,x)可以很快找到双亲
  • 缺点：求节点的孩子时就必须遍历整个结构
• 孩子表示法
  所谓孩子表示法就是会在数据后面存储其孩子节点，但也有两种方式：
  
  • 方法一：
    
    但是这样的方法比较浪费空间，因为你并不知道多叉树中每个节点一共有多少个孩子节点，而不存在的节点，也必须进行保存为null；
  • 方法二：
    
    这样的方法相对于第一种加入了degree的值，可以更节省空间，但是对树进行插入或删除等的操作的时候却增加了复杂度。
• 孩子兄弟表示法
  孩子兄弟表示法也是二叉树的一种表示方法，数据的两端分别存放其左节点的孩子和其兄弟节点。
  

其数据结构也可以很方便的定义：

typedef struct CSNode{ElementType data;Struct      CSNode *firstchild,*nextsibling;} CSNode,*CSTree;

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二叉树的遍历

所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。
　遍历是二叉树上最重要的运算之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
　从二叉树的递归定义可知，一棵非空的二叉树由根结点及左、右子树这三个基本部分组成。因此，在任一给定结点上，可以按某种次序执行三个操作：
　（1）访问结点本身(N)，
　（2）遍历该结点的左子树(L)，
　（3）遍历该结点的右子树(R)。

在访问时要求必须先访问左子树再访问右子树，按照对根节点的访问顺序，二叉树的遍历分为三种：先序中序和后序遍历。
我们还是以刚才的二叉树作为例子，那么

• 先序遍历的结果应该为：RACDBEF
• 中序遍历的结果应该为：CADREBF
• 后序遍历的结果应该为：CDAEFBR

用二叉链表做为存储结构，中序遍历算法可描述为：

 void InOrder(BinTree T)        {          if(T) { // 如果二叉树非空              InOrder(T->lchild)；              printf("％c"，T->data)； // 访问结点              InOrder(T->rchild);            }           } // InOrder

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代码实现

#! /usr/bin/env python                                                           # -*-coding:utf-8 -*-                                                            # Fuction: Create a binary search tree and tranversal in different way           # Coder: Memory                                                                  # Date: 2015-04-18                                                               class treeNode():     def __init__(self, data, left, right):                                               self.data = data                                                                    self.left = left                                                                    self.right = right class BTree:                                                                            def __init__(self):                                                                     self.root = None                                                                def is_empty(self):                                                                     if self.root is None:                                                                   return True                                                                  else:                                                                                return False                                                             def insert(self, data):                                                              r = self.root                                                                    if r is None:                                                                        self.root = treeNode(data, None, None)                                              return                                                                          while True:                                                                             # 比根结点小放在左边                                                                if r.data > data:                                                                       if r.left is None:                                                                      r.left = treeNode(data, None, None)                                                 break                                                                           else:                                                                                   r = r.left                                                                  else:                                                                                   # 比根结点大放在右边                                                                if r.right is None:                                                                     r.right = treeNode(data, None, None)                                                break                                                                           else:                                                                                   r = r.right                                                         def traversal(self, root):                                                              if root is None:                                                                        return                                                                          else:                                                                                   # 先序遍历                                                                          print root.data                                                                    self.traversal(root.left)                # 中序遍历去掉下一行的注释            # print root.data                                                       self.traversal(root.right)                                                      # 后序遍历同上        # print root.dataif __name__ == '__main__':                                                              bt = BTree()                                          bt.insert(10)                                                                    bt.insert(3)                                                                     bt.insert(12)                                                                    bt.insert(6)                                                                     bt.insert(24)                                                                    bt.insert(30)                                                                    bt.insert(1)                                                                     bt.insert(5)      # 若用户输入的是数组，就一个个一个地输入就好了。                                                                   bt.traversal(bt.root)                                                        

二叉树的应用和衍生有很多，比如：哈夫曼树（最优二叉树），二叉搜索树等等。将在后续的博文中一一介绍。