中南OJ 2012年8月月赛 I题 Imagination

　　中南大学OJ 2012年8月月赛，I题，Imagination（题目链接）。

Problem I: Imagination

Description

　　GBQC国有一个正N边形，各个顶点依次标记为0, 1, …, N-1，小明可以从任意一个顶点开始，每次选择一个未经过的顶点连一条蓝色的线段，然后再以那个点为起点重复以上操作，直到所有的顶点都经过为止。

　　那么在最终的画线方案中，各条线段之间不交叉的方案有多少种呢？两条线段不交叉意味着两条线段没有公共点或者公共点均为正N边形的顶点。

　　Figure 1描述了N为3时的所有的合法方案。

　　Figure 2描述了N为4时的所有的合法方案。

Input

　　输入包含多组测试数据。

　　每组数据占一行，包含一个正整数N(3 ≤ N ≤ 10¹⁸)，含义同上。

Output

　　对于每组数据用一行输出一个整数，表示在最终的画线方案中，各条线段之间不交叉的方案有多少种。

　　由于这个数可能很大，所以你只需要输出这个数除以1000000007所得的余数。

Sample Input

3
4

Sample Output

3
8

Hint

　　由于数据量较大，推荐使用scanf和printf。

　　解题思路：每次都只向左或右的相邻位置走，否则会把未走过的点划分成两半，导致路线不得不交叉。因此，从某个固定点出发。出最后一条路以外，每个点2个方向，即为 \( \displaystyle\underbrace{2\times2\times\cdots\times2}_{n-2 \, 个\, 2}\) ，即2^n-2。一共有n个点，所以乘以n。由于是无向图，因此“A为起点，B为终点”和“B为起点，A为终点”是一样的，所以最终答案要除以2，即为 \( \displaystyle\frac{2^{n-2}\, \cdot \, n}{2} = 2^{n-3} \cdot n \) 。但是n很大，所以要用快速幂来搞。

　　C++语言源代码如下：

#include <cstdio>#include <cstdlib>using namespace std;const long long MOD_NUM = 1000000007; inline long long power2( long long n ){    long long result = 1;    long long partial_result = 2;    while( n )    {        if ( (n % 2) == 1 )        {            result *= partial_result ;            result %= MOD_NUM;        }        partial_result = partial_result * partial_result;        partial_result %= MOD_NUM;        n /= 2;    }    return result;}   inline long long calc( const long long & n ){    return ( power2( n-3 ) * (n % MOD_NUM) ) % MOD_NUM ;}int main (void){    long long n;    while ( scanf( "%lld", &n ) != EOF )        printf( "%lld\n", calc(n) );    return EXIT_SUCCESS;}