个人总结的博弈知识

    在古代的时候有一种很有意思的游戏 ，有若干堆东西 ，两个人按一定的规则去取，不同的玩法有不同的输赢方式，有的以最后取完的人为胜利者，有的以最后取完的为输的人。现在让我们来看三种博弈

一.组合博奕：   有一堆东西，两个人按规则取一定的数量，最后取完的为胜利者。

先设任务a先取人物b后取，规定P点为a的必败点，N为a的必胜点，我们可以知道0点一定是P，能达到0点的一定是N

当所有操作都能到达N的为P，所以我们可以写出来三种规则。

1.终点为P   2.可以达到P的是N   3所有操作都能达到N的为P

这样我们就能把这堆东西上的每一个点是P还是N求出来   

我们来看一下步骤①.把所有终结标志修改成P     ②把所有能达到P的设为N     ③把所有操作都能达到N的设为P

④重复二操作直到堆上的所有点都被标记为止

我们先看一个例子吧：有100个石头 每次只能取1到10个 问100这个点事必败点还是必胜点

我们先来分析：0肯定为P那么1到10为N 然后我们可以知道11这个点不管怎么操作都能到N   不管是拿一个石头还是拿10个石头 所有11为P然后因为11为P所以11到21为N以此类推 可以求出100是N还是P。

知道了这个方法巴什博奕自然就解决了。

下面我们来看威佐夫博弈： 有两堆若干个物品，两个人轮流取，每次可以去某一堆若干个或两堆都去一样的数量，最后取光者胜利。

这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，…,n)表示
两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们
称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，
10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。

奇异局势有三条性质：任何一个自然数都包含在一个奇异局势中。

任何一个操作都可以将奇异局势转换为非奇异局势

只要方法正确都可以讲非奇异局势转换成奇异局势。

假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了
奇异局势（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b  – bk个物体，即变为奇异局
势；如果 a = ak ，  b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak – ab – ak个物体,变为奇异局
势（ ab – ak , ab – ak+ b – ak）；如果a > ak ，b= ak + k,则从第一堆中拿走多余
的数量a – ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分两种情况，第一种，a=aj （j < k）
,从第二堆里面拿走 b – bj 即可；第二种，a=bj （j < k）,从第二堆里面拿走 b – a
j 即可。

    从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜
；反之，则后拿者取胜。

那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：

    ak = [k * (1 + √5)/2],bk = ak + k（k=0，1，2，…,n 方括号表示取整函数)

下面我们再来看nim博弈：

有若干堆物品 ，我们每次可以从一堆中拿出规则的个数，最后取走的为赢家

这种局势与二进制有着密切的关系 我们来考虑（x，y，z）为一种局势

显然（0，0,0）为一种奇异局势  不管谁面对奇异局势都是输的。（0，n，n）也是一种奇异局势

（1,2,3）也是一种奇异局势不管对手怎么取都会成为非奇异局势

计算机里面有一种模二运算1,2,3异或后是0，（0，n，n）异或后也是0，（0.0.0）异或也是0那我们就可知道如果为奇异局势异或一定为0

如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设 a < b
< c,我们只要将 c 变为 a（+）b,即可,因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a（+）
b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要将c 变为a（+）b，只要从c中减去c-（
a（+）b即可。

下面我们来看一个游戏：题目1：今有若干堆火柴，两人依次从中拿取，规定每次只能从一堆中取若干根， 
可将一堆全取走，但不可不取，最后取完者为胜，求必胜的方法。 
题目2：今有若干堆火柴，两人依次从中拿取，规定每次只能从一堆中取若干根， 
可将一堆全取走，但不可不取，最后取完者为负，求必胜的方法。

我们先定义：三堆火柴如果异或为0那我们把他设为利他态T否则为利己态S

所以我们可以得出几个定理：对于任何S态，总能从一堆火柴中取出若干个使之成为T态

T态，去任何一堆都将成为S态。

S态只要方法正确必胜。

T态只要对方方法正确必输。

我们再来考虑第二个游戏

定义：若一堆中仅有1根火柴，则被称为孤单堆。若大于1根，则称为充裕堆。
定义：T态中，若充裕堆的堆数大于等于2，则称为完全利他态，用T2表示；若充裕堆的堆数等于0，则称为部分利他态，用T0表示。

[定理5]：S0态，即仅有奇数个孤单堆，必败。T0态必胜。 
[定理6]：S1态，只要方法正确，必胜。
[定理7]：S2态不可转一次变为T0态。 
[定理8]：S2态可一次转变为T2态。 
[定理9]：T2态，只能转变为S2态或S1态。
[定理10]：S2态，只要方法正确，必胜. 
综上所述，必输态有：  T2,S0 
          必胜态：    S2,S1,T0. 

最后讲两个重要的知识点：SG值和后继点的问题。

一个堆的SG值是什么：就是大于等于0切不等他他的后继点的最小整数。

后继点：就是进行一次操作能达到的点。比如说有100个石子，每次能拿1到10个那么它的后继点是100 - 1,100 - 2,100 - 3,100 - 4,100 - 5,100 - 6,100 - 7,100 - 8,100 - 9,100 - 10；

SG值其实就是求某一个点是P还是N如果SG为0那么就是P，如果SG>0那么久为N，运用SG值我们可以把nim博弈分成几个不同的小游戏然后去求每个堆的

SG值 然后去异或看是否为0来得出最终答案

下面写一个求SG值的模板：

#include<stdio.h>int f[100];  //记录可以取走的数量int hash1[100];   //记录哪个是最小正整数int sg[];//记录每个点的sg值int GET_sg(int x){    for(int i = 1;i < x;i++)    {        memset(hash1,0,sizeof(hash1));        for(j = 1;j < i;j++)        {            hash1[sg[i - f[j]]] = 1;        }        for(j = 0;j < n;j++)        {            if(hash1[j] == 0)            {                sg[i] = j;                break;            }        }    }}

好了大概也就这么多了 ，博弈的进阶还是在于对sg值得理解    ，如果你想成为博弈大神 那么还是需要不断的AC的 

这是几道hdu的题，还是很不错的：

ACM课作业：
1001 Brave Game
1002 Good Luck in CET-4 Everybody!
1003 Fibonacci again and again
1004 Rabbit and Grass
1005 Being a Good Boy in Spring Festival
1006 Public Sale 
1007 悼念512汶川大地震遇难同胞——选拔志愿者 
1008 kiki’s game 
1009 Calendar Game 
1010 A Multiplication Game 
1011 Digital Deletions 
1012 S-Nim

当你把这几道题A了之后那么恭喜你  入门了