海量数据找缺失的值

一个文件中含有4billion的integers, 试图找出一个不再这个文件中的数。

假如一个integer用4bytes表示，那么文件的大小就是4 * 10 ^9 * 4 = 16 GB。 文件太大了。 

（1）办法一： 采用外排序的办法。对这些数据排完序之后， 可以从第一个数开始遍历， 知道出现gap, 表示gap之间缺少一个元素。这样我们输出的是第一个missing的value。

（2）办法二： 

假如我们的数据是32位表示的整数， 总共可能的值是2^32个distinct integers， 约为4 billion（4 * 10^9）。 

情况1： 我们有1 * 10^9 bytes * 8bit/byte = 8  billion bits 的内存（足以表示出4 billion的所有可能的互异的numbers了）， 我们可以使用一个bit代表一个整数， 也就是使用Bitmap的办法。我们就可以不经过排序就可以检索到整数的位置。 我们只需要遍历，将发现的数存在bitmap中， 出现即将相应的index的bitmap的值设为1。 查找到bitmap中为0的位置， 那么这个位置的index就是missing value。

情况2: 我们只有10MB = 80 million bits的内存， 我们可以采用如下的办法求解。

对于所有可能的16位前缀（我们的每一个数字都是32位的， 这里是高16位），每一个对应的前缀有2^16种可能的情况。 如下：

00000000 00000000 : 2^16种可能的数字(低位)

00000000 00000001 : 2^16种可能的数字(低位)

...........................................................................

11111111 11111111 : 2^16种可能的数字(低位)

也就是相当于有2^16个bucket，每一个bucket有2^16个可能的数字（对应着低位）。 然后我们对文件中的4billion个数字进行统计。 具有相同16bit前缀的数字将在同一个bucket， 相当于对这个bucket进行加1。 统计完成后， 只要有缺失的数字， 那么这个缺失的数字的前缀对应的bucket的计数值将小于2^16个。 接下来我们只需要把这这个前缀记录下来。

然后释放小所有的内陈。 对那4 billion个数重新遍历， 此时我们的办法是统计的是后缀。 后缀的bucket的数目也是2^16个。 然后开始统计。 和刚才记录的前缀相同， 且这个数对应的后缀的那个bucket设置为1， 表示存在。 统计完成之后， 我们只需要遍历这些bucket， bucket计数值为0的表示这个后缀不存在。 那么此时就找到了， 将刚才那个前缀（记录下的）和这个为0 的后缀的bucket的数字concanate起来， 最终就得了一个missing value。

介绍完上述的面试题之后， 无意中看到了格雷码的产生办法。 记录如下：

问题： Given a number n, generate bit patterns from 0 to 2^n-1 such that successive patterns differ by one bit.

办法：

n-bit Gray Codes can be generated from list of (n-1)-bit Gray codes using following steps.
1) Let the list of (n-1)-bit Gray codes be L1. Create another list L2 which is reverse of L1.
2) Modify the list L1 by prefixing a ‘0’ in all codes of L1.
3) Modify the list L2 by prefixing a ‘1’ in all codes of L2.
4) Concatenate L1 and L2. The concatenated list is required list of n-bit Gray codes.

For example, following are steps for generating the 3-bit Gray code list from the list of 2-bit Gray code list.
L1 = {00, 01, 11, 10} (List of 2-bit Gray Codes)
L2 = {10, 11, 01, 00} (Reverse of L1)
Prefix all entries of L1 with ‘0’, L1 becomes {000, 001, 011, 010}
Prefix all entries of L2 with ‘1’, L2 becomes {110, 111, 101, 100}
Concatenate L1 and L2, we get {000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100}

程序如下：

// C++ program to generate n-bit Gray codes#include <iostream>#include <string>#include <vector>using namespace std;// This function generates all n bit Gray codes and prints the// generated codesvoid generateGrayarr(int n) {    // base case    if (n <= 0)        return;    // vector of strings, store the gray code    vector<string> arr;    // start with one-bit pattern    arr.push_back("0"); // arr[0] = 0    arr.push_back("1"); // arr[1] = 1    // Every iteration of this loop generates 2*i codes from previously    // generated i codes.    for (int i = 2; i < (1<<n); i = i<<1) {        // Enter the prviously generated codes again in arr[] in reverse        // order. Nor arr[] has double number of codes.        for (int j = i-1 ; j >= 0 ; j--)            arr.push_back(arr[j]); // arr[j] 代表第j个gray code        // append 0 to the first half        for (int j = 0 ; j < i ; j++)            arr[j] = "0" + arr[j];        // append 1 to the second half        for (int j = i ; j < 2*i ; j++)            arr[j] = "1" + arr[j];    }    // print contents of arr[]    for (int i = 0 ; i < static_cast<int>(arr.size()) ; i++ )        cout << arr[i] << endl;}// Driver program to test above functionint main() {    generateGrayarr(4);    return 0;}

运行结果如下：