斜率优化DP学习笔记

对于一类状态转移方程可以写成

f[i]=min/max(a[i]*b[j]+G[j])+H[i]（a、H是只和i有关的函数，b、G是只和j有关的函数）

且a和b至少有一个是单调的动态规划问题，我们可以通过数形结合来优化它。这类问题一般是要把一个线性序列分成若干段，暴力解决时间复杂度一般是O（n^2），如果a和b都是单调的，可以优化到O（n），如果只有一个是单调的，可以优化到O（nlog₂n）。。

以取最小值为例，考虑对上面的方程进行变形，H[i]显然和选取最优的转移无关，可以先抹去，将方程变为-a[i]*b[j]+f[i]=G[j]，将-a[i]看做斜率，f[i]看做截距，这就是一条直线，斜率一定，要求最小截距。将(b[j],G[j])看做j对应的点，那么我们要做的就是在i对应的状态转移点集中取截距最小的点，也就是拿一条斜率为-a[i]的直线从负无穷向上平移，第一个碰到的点。很显然，这个点一定在i对应点集的凸包上，而且我们是取最小值，所以一定是在下凸壳上，而且是这条直线与这个凸壳的切点。我们要维护这样一个凸壳，这可以用单调队列实现。

先考虑如何取出最优决策，设que是一个横坐标递增的具有下凸性的点集，取出队头的两个点，如果这两点的连线斜率＜a[i]（如下图）

显然直线不与凸壳相切，又因为斜率是单调（假设是增加）的，所以后面的直线肯定也不会切于这点，这时直接把队头弹出即可。一直这样维护直到队头两点斜率>=a[i]，取出队头转移状态即可。

再考虑将点i插入凸壳中，设t1，t2为队尾的两个点，k（i，j）为i，j两点连线斜率，下凸壳的斜率显然是增加的，那么如果出现k(i，t1)<k（t1，t2）时，t1就没有存在的必要了，将它删除即可。

一直这样维护直到出现k(i，t1)>k（t1，t2），就保证了这个队列保存的点集的下凸性。。

有时候斜率和截距不是全单调的。

特殊处理：

横坐标单调：

二分凸包上的点，找到这样一个点x，使得

x和x左边的点的所在的直线斜率小于当前直线斜率

x和x左边的点的所在的直线斜率大于当前直线斜率

将直线插入，维护凸壳

斜率单调：

关于横坐标建立一棵Splay

然后在Splay中维护凸壳