随机向量

联合分布

• 随机向量
• 随机向量的函数
• 联合分布：
  
  • 离散型：pij,
  • 连续型： 密度函数p(x,y)，分布函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
• 非负性、次可加性、归一性
  
  p(x,y)=∂2F(x,y)∂x∂y
  
  
  p((X,Y)∈D)=∬Dp(x,y)dxdy

边缘分布

• 边缘分布：联合分布的分量
• 联合分布决定边缘分布，由联合分布积分得到

三项分布

p(x,y)=n!k1!k2!(n−k1−k2)!pk11pk22(1−p1−p2)n−k1−k2

二维正态分布

• 概率密度
  
  p(x,y)=12πσ1σ21−ρ2−−−−−√e−12(1−ρ2)[(1−μ1)/σ1)2−2ρ(x−μ1)(x−μ2)/σ1σ2+(x−μ2/σ2)2]
• 边缘密度是一维正态密度pX(x)∼N(μ1,σ21),pY(y)∼N(μ2,σ22)
• 二维正态分布X和Y相互独立的充要条件是ρ=0
• X+Y∼N(2μ,2σ2)

独立性

充要条件：

• p(x,y)=pX(x)pY(y)
• P(X=xi,Y=yi)=P(X=xi)P(Y=yi)

函数的分布

• Z=X+Y的分布
  
  pZ(z)=∫∞−∞p(x,z−x)dx
• Z=X/Y的分布
  
  pZ(z)=∫∞−∞|y|p(zy,y)dy
• 可作变量替换的一般函数的分布
  x=x(u,v),y=y(u,v)，有
  
  q(u,v)=p[x(u,v),y(u,v)]∣∣∣∂(x,y)∂(u,v)∣∣∣
• X,Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y),D(X)=D(X)+D(Y)
• E[f(x,y)]=∬f(x,y)p(x,y)dxdy

协方差

• 协方差：cov(X,Y)=E(X−E(X)(Y−E(Y))
• |cov(X,Y)|2≤var(X)⋅var(Y)
• 相关系数：
  ρ=cov(X,Y)var(X)−−−−−−√var(Y)−−−−−−√
• X,Y独立则系数为0，X,Y线性相关则系数为±1

n维分布

• 分布函数，密度函数，边缘分布，独立性，多项分布，
• 密度公式
  
  p((X1,⋯,Xn)∈D)=∬Dp(x1,⋯,xn)dx1⋯dxn
• 独立的充要条件：联合密度等于各个密度之积。
• 期望，协方差矩阵，相关阵（相关系数的矩阵），n维正态分布，随机变量的函数
• 函数分布公式
  
  F(y)=∬A(y)p(x1,⋯,xn)dx1⋯dxn
• 均值公式
  
  E[f(x1,⋯,xn)]=∬f(x1,⋯,xn)p(x1,⋯,xn)dx1⋯dxn

次序统计量

• X(k)的分布
  

  FX(k)(x)=P[X(k)≤x]=n!(k−1)!(n−k)!∫F(x)0uk−1(1−u)n−kdu
  
  -X(1),⋯,X(n)的联合分布
  
  q(x1,⋯,xn)={n!∏ni=1p(xi),x1<⋯<xn0,else

• (X(1),X(n))的联合密度为
  

  q1(u1,u2)={n(n−1)(F(u2)−F(u1))n−2p(u1)p(u2),u1<u20,else

• 极差ξ=X(n)−X(1)的分布
  

  P(ξ≤x)=n∫∞−∞(F(x+u)−F(u))n−1p(u)du,x>0

条件分布

离散

P(X=xi|Y=yj)=pij∑kpkj

连续

pX|Y(x|y)=p(x,y)pY(y)

条件期望

离散

E(X|Y=y)=∑ixiP(X=xi|Y=y)

连续

E(X|Y=y)=∫∞−∞xpX|Y(x|y)dx=1pY(y)∫∞−∞xp(x,y)dx

定理（权期望公式，条件期望与期望的关系）：

E(X)=∫E(X|Y=y)pY(y)dy,pY(y)>0

离散类似

Var(Y)=E(Var(Y|X))+Var(E(Y|X))