RSA加密解密原理

加密过程

加密过程可以通过如下公式表示

C=Memodn

C：加密后的密文。
M：表示要加密的明文数据块。将要加密的明文分成若干个消息块，然后将消息块中的字符转换为数字，这样就得到了一个很大的整数M。
e：公钥之一
n：公钥之一

解密过程

解密过程可以通过如下公式表示

M=Cdmodn

其中C和M与上面的定义一致。d就是使用者的私钥。

它是如何工作的？

举一个简单的例子

1. 首先选择两个素数，比如我们选11和23
2. 计算他们的乘机，得到n。即 n=11∗23=253.
3. 现在计算私钥d，d要与(p−1)(q−1)互质。这样的数有很多个，这里我们选19，即d=19
4. 公钥e可由公式19e(mod220)=1计算出。计算得到e=139
5. 这样，我们得到了公钥(e,n)=(139,253) 和私钥 d=19

现在尝试加密数据“Hi”

1. 查“Hi”的ASCII值，得到明文(72,105)
2. 用公钥对明文进行加密

72139(mod253)=2105139(mod253)=101

得到密文(2,101)
3. 使用私钥d，将密文还原成明文

219(mod253)=7210119(mod253)=105

4. 将明文转换为对应的ASCII字符，得到“Hi”

工作原理

欧拉函数

欧拉函数定义

欧拉函数φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。
如小于5且与5互质的数有1,2,3,4，所以φ(5)=4。又比如小于8且与8互质的数有1,3,5,7，所以φ(8)=4

欧拉函数的值

1. φ(1)=1
2. 若n是质数p的k次幂，则φ(n)=pk−pk−1=(p−1)pk−1。
   如φ(25)=φ(52)=52−51=20
3. 若m,n互质，则φ(mn)=φ(m)∗φ(n)。
   如φ(72)=φ(8∗9)=φ(23∗32)=φ(23)∗φ(32)=(8−4)∗(9−3)=24

欧拉定理

若n,a是正整数，且n,a互质，则

aφ(n)≡1(modn)

其中φ(n)欧拉函数。
比如a=3,n=5，则φ(5)=4,aφ(n)=34=81。
而81≡80+1≡1(mod5)

欧拉定理可以用来简化幂运算，如计算7222的个位数。由于7和10互素，且φ(10)=4。由欧拉定理知74≡1(mod10)。所以7222=74⋅55+2=(74)55⋅72≡155⋅72≡49≡9(mod10)。

RSA模型

1. 首先要选两个很大的素数p,q，并计算n=p∗q作为公钥的一部分，但选择的p,q需要保密。
2. 此时欧拉函数φ(n)=φ(pq)=(p−1)(q−1)
3. 像上面的例子一样，选择一个d，保证min(p,q)≤d≤φ(n)，且d与φ(n)互质。
4. 通过edmodφ(n)=1得到e。此时已得到全部公钥e,n和私钥d，且ed=1+rφ(n)

5. 加密过程为C=Memodn，解密过程为M′=Cdmodn。等式成立的推导过程为：
   

   M′=Cdmodn=(Memodn)dmodn =Medmodn=M1+rφ(n)modn=M∗(Mφ(n))rmodn
   
   由欧拉定理，Mφ(n)≡1(modn)，所以
   
   M∗(Mφ(n))rmodn=M∗1rmodn=Mmodn

   此时说明明文M经过编码为C再经过解码为M′时,M′=Mmodn。但我们在做编码解码时, 限制 0≤M′<n,0≤M<n，所以编码和解码后的结果是相同的，即M=M′。

证毕。