信号与系统
来源:互联网 发布:网页美工和前端工作 编辑:程序博客网 时间:2024/05/29 12:19
匆忙整理,凌乱不堪。待补。
信号
信号
- 描述方法:函数表达式、波形图、数值表
- 基本分类
信号的分类
- 确定信号与随机信号
- 周期信号与非周期信号
- 连续信号与离散信号
- 模拟信号与数字信号
信号的分解
- 直流分量与交流分量,能量信号与功率信号
- 奇偶分量(某种正交性)
- 分解成脉冲函数
- 分解成正交函数
正交函数
- 正交:函数内积(积分)为0
- 正交函数集:彼此正交
- 系数即在分量下的投影,归一化。
ci=∫f(t)gi(t)dtg2i(t)dt - 方均差为0不代表能量相等(可能不完备)
- 完备正交函数集。性质:满足Parseval公式:信号能量等于各分量能量和
相关
- 相关系数:两个函数的夹角(归一化的内积)
- 相关函数:两个函数的相关函数是关于延迟
τ 的函数;功率信号,周期平均的内积R12(τ)=∫f1(t)f2(t−τ)dt - 自相关函数:能量信号,和自己的相关函数;功率信号,周期平均的内积
信号的基本运算
延迟
比例
叠加
相乘
采样信号(sinc function)
是能量信号(平方可积),不稳定系统(不绝对可积)
单位阶跃信号(heaviside函数)
- 信号接入
e(t)=f(t)u(t) - 矩形脉冲
u(t−τ)−u(t+τ) - 单位斜坡信号
ramp(t)=tu(t) - 符号函数
sgn(t)=2u(t)−1
单位冲激信号
- 极限定义:高斯函数
σ→0 …… 从极限过程看奇异信号之间的关系
δ(t)=limτ→01τ[u(t+τ2)−u(t−τ2] δ′(t)=limτ→01τ[δ(t+τ2)−δ(t−τ2] ∫f(t)δ(t)dt=f(0) f(t)δ(t)=f(0)δ(t) δ(at)=δ(t)|a| δ[h(t)]=∑kδ(t−tk),ak=1|h′(tk)| 1tδ(t)=−δ′(t) 1tnδ(t)=(−1)nn!δ(n)(t)
冲击偶信号
∫f(t)δ′(t)dt=−f′(0) ∫f(t)δn(t−τ)dt=(−1)nf(n)(0) δ′(at)=δ′(t)a|a| δ(k)(at)=δ(k)(t)ak|a|
傅里叶分析
周期信号均可被表示为各种简谐波的加权和;
非周期信号均可用简谐波信号的加权积分表示。
傅里叶级数
- 定义
- 傅里叶级数收敛充分条件(Dirichlet):在一个周期内间断点的数目有限;极值点个数有限;信号绝对可积
- 函数的对称性与傅氏级数系数的关系,奇偶、奇偶谐
- 常把展开式写成抽样函数的形式
- 频谱特征:
- 离散性:谱线间隔
ω1=2πT1 - 谐波性:各次谐波叠加,谐波分量幅度正比于
AτT1 - 收敛性:谱线的幅度按包络曲线变化,主要能量集中在第一包络内
- 离散性:谱线间隔
- 周期信号
f(t) 与其傅氏级数在能量上相等
几种特殊的傅里叶级数
(表格)
一般周期信号
周期矩形信号
周期对称方波信号
周期锯齿信号
周期三角信号
周期半波余弦信号
周期全波余弦信号
傅里叶变换
- 定义
- 对称性
- 时频对称性
- 时频中心纵坐标的对称性(w=0)
- 实函数时间信号指数和三角式的对称
- 共轭对称
F(ω)=F∗(−ω)
- 线性性
- 比例变换性质:时域上压缩对应频谱的扩展
F[f(at)]=1|a|F(ωa) - 频域带宽
B0=f(0)2F(0) ,时域持续时间T0=F(0)f(0) - 时移性质:时域延迟对应频域负相移
- 频移性质:频域向右(
ω−ω0 )位移对应时域正相移 - 卷积定理:时域卷积对应于频域相乘
- 频域卷积对应时域相乘
∗2π - 微分性质:时域微分对应频域
∗jω ;频域微分对应时域∗(−jt) 积分性质:时域积分对应
/jω ;频域积分对应相关定理:
F[R12(τ)↔F1(ω)F2∗(ω)] F[R(τ)↔|F(ω)|2 - Parseval公式:时域平方积分=频域平方积分
/2π ,能量关系 - 能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换。
几种特殊的傅里叶变换
矩形脉冲信号
把直流信号看作脉冲脉宽变大的极限
阶跃信号看作指数函数的极限
符号函数
冲激信号
傅里叶级数和傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换
周期延拓后的傅里叶级数
两者结合,给定非周期信号f0(t),则信号fT(t)的变换为
抽样定理
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
- 定义
L[f(t)]=∫f(t)e−stdt - 一般研究单边拉普拉斯变换,积分限认为是从
0− 开始 - 收敛域在s平面上最右边奇异点的右侧
- 收敛的充分条件
存在某个实数σ0<∞,limt→∞f(t)e−σ0t=0 ,则在区域Re(s)>σ0 内,拉普拉斯积分式绝对一致收敛 - 有限时间信号在全平面收敛
- 普通函数、有界函数的拉氏变换为真分式
- 奇异函数的拉氏变换为多项式
常见信号的拉普拉斯变换
(表格)
幂函数
阶跃函数
冲激函数
基本性质
- 线性性
- 时域微分
- 时域积分
收敛区间求导可能扩大,积分可能缩小 - 频域微分
- 频域积分
- 初值定理
- 终值定理
- 时域平移
- 频域平移
- 卷积定理
逆变换
公式法:不实用
有理分式+留数法:
极点为实数单根
极点为共轭复根
极点为重根
利用拉氏变换性质
极零图
- 在s平面上标出系统
H(s) 的所有零点和极点 - 零点位置不同对
h(t) 的影响:零点如果不抵消极点,则只影响幅度和相位 - 极点不同则收敛性不同,决定了系统的稳定性和频域特性
- 有限时间信号分子中有
1−e−sτ 项,有无穷多个零点,可能抵消原来的极点。
系统
叠加性和均匀性
时不变性
响应和激励有相同的延迟
线性时不变系统
- 满足叠加性和均匀性、是不变性
- 满足微积分特性
因果性
响应不依赖于激励时间以前的信号
h(t)=0,t<0
可逆性
由响应可以确定激励
稳定性
BIBO
线性系统稳定的充要条件:
1. 含在右半平面的极点不稳定;含在虚轴上的二阶及以上极点不稳定;仅含虚轴上一阶极点临界稳定;不含右半平面和虚轴上极点稳定。
2. 表达式化简后,含s的项不稳定
3. 系统函数分母多项式的根位于左开平面是必要条件:a. 分母多项式无缺项;b. 所有系数的符号相同。
4. 罗斯-霍尔维兹准则
电路微分方程解法
响应
零状态响应+零输入响应
自由响应(暂态响应,衰减到0)+受迫响应(稳态响应,幅值不变)
线性性体现在零状态响应上
线性系统的零状态响应与零输入响应、以及系统的冲激响应或阶跃响应分析,在理论上构成了系统时域分析方法的基础。
冲激响应h(t)
- 与阶跃响应共同点:全频信号,可以反映信号频谱;时域信号可以由此叠加。
- 初始条件为0
- 求解冲激响应
- 可以完全确定一个LTI系统
阶跃响应g(t)
- 是冲激响应的积分
卷积
- 定义:
f1(t)∗f2(t)=∫f1(τ)f2(t−τ)dτ - 图解法求卷积
- 与奇异信号的卷积
- 冲激函数是单位元
f(t)∗δ(t)=f(t) - 延迟的冲激函数是理想延迟器
f(t)∗δ(t−t0)=f(t−t0) - 阶跃函数是理想积分器
f(t)∗u(t)=∫t∞f(τ)dτ - 冲激偶函数是理想微分器
f(t)∗δ′(t)=f′(t)
- 冲激函数是单位元
- 卷积运算
- 交换律
- 结合律
- 对加法的分配律
- 任意响应=激励和冲激响应的卷积=激励的微分和阶跃响应的卷积(
e(t) 和h(t) 当t→∞ 时都趋于0) - 激励的微/积分和冲激响应的卷积是响应的微/积分
频响
在正弦波激励下的稳态响应。
- 无右半平面极点;
- 左半平面极点稳态响应为0
- 所以响应还是正弦波
频响的获得: - 极零点矢量法:
应用方法,借助矢量,分别考察h(s)的幅频和相频响应。
w在虚轴上取几个特殊值。 - 三维图的方法:
判断要点:1. 极点特征;2. 零点特征; 3. 确定|H(0)|和|H(\infty)|的趋势
全通函数
最小相移函数
任一个因果稳定都可以表示成全通系统和最小相位系统的级联。
失真
群时延:
不失真的系统的群时延是一个正常数。
理想滤波器
理想低通滤波器:不满足因果性,不可实现,不绝对可积,不稳定
理想带通滤波器:不满足因果性,不可实现,不绝对可积,不稳定
理想高通滤波器:不满足因果性,不可实现,不绝对可积,不稳定
四种类型
Butterworth, Chebshev, 椭圆
系统的物理可实现性:佩利-维纳准则(必要条件)、希尔伯特变换
Thanks to Chen Chen
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