反尼姆游戏

尼姆博奕（Nimm Game）： 有三堆各有若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

      用(a , b , c)表示某种局势，首先(0, 0 , 0)显然是奇异局势（即后取得人一定取光物品），第二种奇异局势是(0 , n , n),只要与对手拿走同样多的物品，最后都将导致(0 , 0 , 0)。第三种(1 , 2 , 3)也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变成(0 , n , n)的情况。

用(+)表示异或（也叫按位模2加）运算，对于任何奇异局势，a1 (+) a2 (+) ……(+) an = 0。

取火柴的游戏
题目1：今有若干堆火柴，两人依次从中拿取，规定每次只能从一堆中取若干根， 可将一堆全取走，但不可不取，最后取完者为胜，求必胜的方法。 

题目2：今有若干堆火柴，两人依次从中拿取，规定每次只能从一堆中取若干根， 可将一堆全取走，但不可不取，最后取完者为负，求必胜的方法。

定义：若所有火柴数异或为0，则该状态被称为利他态，用字母T表示；否则， 为利己态，用S表示。

[定理1]：对于任何一个S态，总能从一堆火柴中取出若干个使之成为T态。

[定理2]：T态，取任何一堆的若干根，都将成为S态。

[定理 3]：S态，只要方法正确，必赢。

[定理4]：T态，只要对方法正确，必败。

接着来解决第二个问题。
定义：若一堆中仅有1根火柴，则被称为孤单堆。若大于1根，则称为充裕堆。
定义：T态中，若充裕堆的堆数大于等于2（若充裕堆数为1，则最后异或一定不为0 ，因为高位只有一个1,异或结果一定不为0），则称为完全利他态，用T2表示；若充裕堆的堆数等于0，则称为部分利他态，用T0（说明孤单堆的数目一定是偶数，否则异或结果定不为0，且因为是偶数，后拿的一定会最后取光所有物品，在第二个问题中先拿的是赢家）表示。

孤单堆的根数异或只会影响二进制的最后一位，但充裕堆会影响高位（非最后一位）。一个充裕堆，高位必有一位不为0，则所有根数异或不为0。故不会是T态。

[定理5]：S0态，即仅有奇数个孤单堆，必败。T0态必胜。 

[定理6]：S1态( 一堆充裕堆，x个孤单堆)，只要方法正确，必胜。 

证明：
若此时孤单堆堆数为奇数，把充裕堆取完 ， 变成S0；

否则有偶数个孤单堆，将充裕堆取得剩一根。这样，就变成奇数个孤单堆即 S0，由对方取。

由定理5 ，必胜。

[定理7]：S2态不可转一次变为T0态。

[定理8]：S2态可一次转变为T2态。 

（若充裕堆>2 （1：充裕堆为偶数，孤单堆为奇数，将一个孤单堆取完）,（2：充裕堆为奇数，若孤单堆为偶数，则取完一个充裕堆，若孤单堆为奇数，则取得一个充裕堆剩1个。））

[定理9]：T2态，只能转变为S2态或S1态。( 若充裕堆>2则可转变为S2 ，若充裕堆=2,则可转变为S1)。

[定理10]：S2态，只要方法正确，必胜.

证明：
方法如下： 
      1）  S2态（①），就把它变为T2态（②）。（由定理8） 
      2）  对方只能T2转变成S2态或S1态（①）（定理9）
           若转变为S2,  转向1） 
           若转变为S1（①）,  这己必胜。（定理5）

定理11]：T2态必输。

综上所述，若是    S2,S1,T0 。 则先下的人必胜。

                  若是   T2,S0 。则先下的人必输。

两题比较：

第一题（全过程）： S2 ->T2 ->S2->T2->... ...->T2->S1->T0（偶数个孤单堆）->...->S0->T0 (全0)。

第二题（全过程）：S2->T2->S2->T2->  ……  ->T2->S1->S0（技术个孤单堆）->T0->S0->……->S0->T0(全0)

S1态可以转变为S0态（第二题做法），也可以转变为 
T0（第一题做法）。哪一方控制了S1态，他即可以有办法使自己得到最后一根（转变为 
T0）,也可以使对方得到最后一根（转变为S0）。 
  所以，抢夺S1是制胜的关键！ 
  为此，始终把T2态让给对方，将使对方处于被动状态，他早晚将把状态变为S1.