RMQ算法分析

来源：互联网发布：2013知乎年度吐槽精选编辑：程序博客网时间：2024/06/06 14:18

转载自：http://blog.csdn.net/y990041769/article/details/38405063

MQ算法，是一个快速求区间最值的离线算法，预处理时间复杂度O（n*log(n)），查询O(1)，所以是一个很快速的算法，当然这个问题用线段树同样能够解决。

问题：给出n个数ai，让你快速查询某个区间的的最值。

算法分类：DP+位运算

利用二进制思想，每次将区间扩充为原来的二倍，求最值，类似于字典树的思想。

算法分析：这个算法就是基于DP和位运算符，我们用dp【i】【j】表示从第 i 位开始，到第 i + 2^j -1 位的最大值或者最小值。

那么我求dp【i】【j】的时候可以把它分成两部分，第一部分从 i 到 i + 2 ^( j-1 ) - 1 ，第二部分从 i + 2 ^( j-1 ) 到 i + 2^j - 1 次方，其实我们知道二进制数后一个是前一个的二倍，那么可以把 i --- i + 2^j 这个区间通过2^(j-1) 分成相等的两部分，那么转移方程很容易就写出来了。

转移方程： mm [ i ] [ j ] = max ( mm [ i ] [ j - 1 ] , mm [ i + ( 1 << ( j - 1 ) ) ] [ j - 1 ] );

每个区间的长度为1<<(j-1).

代码：

[html] view plaincopyprint?
void rmq_isit(bool ok)  
{  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
        mm[i][0]=mi[i][0]=a[i];  
    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)  
    {  
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)  
        {  
            if(ok)  
                mm[i][j]=max(mm[i][j-1],mm[i+(1<<(j-1))][j-1]);  
            else  
                mi[i][j]=min(mi[i][j-1],mi[i+(1<<(j-1))][j-1]);  
        }  
  
    }  
}  

那么查询的时候对于任意一个区间 l -- r ，我们同样可以得到区间差值 len = （r - l + 1）。

那么我们这一用小于2^k<=len，的 k 把区间分成可以交叉的两部分l 到 l+2^（k）- 1, 到 r -(1<<k)+1 到 r 的两部分，很easy的求解了。

查询代码：

[cpp] view plaincopyprint?
int rmq(int l,int r)  
{  
    int k=0;  
    while((1<<(k+1))<=r-l+1)  
        k++;  
    //printf("%d %d %d %d\n",l,l+(1<<k),r-(1<<k)+1,r-(1<<k)+1+(1<<k));  
    int ans1=max(mm[l][k],mm[r-(1<<k)+1][k]);  
    int ans2=min(mi[l][k],mi[r-(1<<k)+1][k]);  
    return ans1-ans2;  
}  

顺便写一道练习题目：poj 3264 Balanced Lineup

求区间差值，那么很简单一个应用。

poj3264代码如下：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <vector>#include <queue>#include<cmath>using namespace std;#define maxn 100010#define maxx 100int s[maxn],ma[maxn][maxx],mm[maxn][maxx];int n;void RMQ(){    for(int i=1;i<=n;i++)    {        ma[i][0] = mm[i][0] = s[i];    }    int end_i = log(n+0.0)/log(2.0);   //最多分配的区间的个数    for(int i=1;i<=end_i;i++)    {        int end_j = n+1-(1<<i);<span style="white-space:pre"></span>//最大可达的下标的值        for(int j=1;j<=end_j;j++)        {            ma[j][i] = max(ma[j][i-1],ma[j+(1<<(i-1))][i-1]);   //找区间j到j+2^i-1的最大值，<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">分别取出j到j+2^(i-1)-1的最大值,和j+2^(i-1）到j+2^i;</span>

            mm[j][i] = min(mm[j][i-1],mm[j+(1<<(i-1))][i-1]);        }    }}int QMAX(int l,int r){    int k = log(r-l+1.0)/log(2.0);    int m = max(ma[l][k],ma[r-(1<<k)+1][k]);   // cout<<m<<endl;    return m;}int QMM(int l,int r){    int k = log(r-l+1.0)/log(2.0);    int m =  min(mm[l][k],mm[r-(1<<k)+1][k]);    //cout<<m<<endl;    return m;}int main(){    int m;    int l,r;    while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)    {        for(int i=1;i<=n;i++)        {            scanf("%d",&s[i]);            //cout<<s[i]<<endl;        }        RMQ();        for(int i=0;i<m;i++)        {            scanf("%d %d",&l,&r);            printf("%d\n",QMAX(l,r)-QMM(l,r));        }    }    return 0;}

0 0