习题10-18 一个研究课题 UVa10837

1.题目描述：点击打开链接

2解题思路：本题利用欧拉函数的性质暴力搜索求解。首先，根据 phi(n)=pk11(p1−1)∗pk22(p2−1)∗pk33(p3−1)....可知，n中的所有素因子p必须满足phi(n)%(p-1)==0这一条件。因此可以事先将所有这样的素数找出来，然后在这些素数的基础上进行暴力搜索，来枚举哪些素数用与不用。如果用了，还要枚举所有的合法的使用次数。这看上去时间复杂度会比较高，但实际上每次多乘一个p，对应的值是呈指数上升的，因此能够很快找到解。

注意：本题的素数打表只打到10000。但实际上p是可能超过10000的，但这样的p只能有一个，否则会超出题目给定的10^8这一上界。因此最后要单独判断最后一个数是否为素数，而且是没有被使用过的素数。

3.代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include<iostream>#include<algorithm>#include<string>#include<sstream>#include<set>#include<vector>#include<stack>#include<map>#include<queue>#include<deque>#include<cstdlib>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<ctime>#include<functional>using namespace std;const int N = 10005;int vis[N], prime[N], pn, n, f[N], fn, ans;void get_prime(int n) //打表筛出n以内的所有素数{pn = 0;memset(vis, 0, sizeof(vis));for (int i = 2; i <= n; i++) {if (vis[i]) continue;prime[pn++] = i;for (int j = i * i; j < N; j += i)vis[j] = 1;}}void build(int n) //根据欧拉函数的性质，找出所有可能的素因子{fn = 0;ans = 200000000;for (int i = 0; i < pn && (prime[i] - 1) * (prime[i] - 1) <= n; i++) {if (n % (prime[i] - 1)) continue;f[fn++] = prime[i];}}bool judge(int sum) //判断sum是否为素数，以及该素数是否被用过{for (int i = 0; i < pn && prime[i] * prime[i] <= sum; i++)if (sum % prime[i] == 0) return false;for (int i = 0; i < fn; i++) {if (vis[i] && f[i] == sum) return false;}return true;}void dfs(int now, int sum, int tot) //当前层数为now,剩下的欧拉函数值为sum,总的乘积为tot{if (now == fn) {if (sum == 1) ans = min(ans, tot);else if (judge(sum + 1)) {//最后一个sum+1为一个新素数tot *= (sum + 1);ans = min(ans, tot);}return;}dfs(now + 1, sum, tot);//不使用第now个素数if (sum % (f[now] - 1)) return;//不能整除，失败返回vis[now] = 1;//使用标志sum /= (f[now] - 1);tot *= f[now];dfs(now + 1, sum, tot);//只用了一次的情况while (sum % f[now] == 0) //使用多次的情况{sum /= f[now];tot *= f[now];dfs(now + 1, sum, tot);}vis[now] = 0;//回溯时消除使用标记}int main() {//freopen("t.txt", "r", stdin);get_prime(10000);int cas = 0;while (~scanf("%d", &n) && n) {build(n);memset(vis, 0, sizeof(vis));dfs(0, n, 1);printf("Case %d: %d %d\n", ++cas, n, ans);}return 0;}