Poj_3744 解题报告

原题我就不提供了, 大家可以自己上www.POJ.org搜索.

大概题意 :

小明要通过一条"地雷之路".路上有好多个地雷, 而小明现在站在路的开端(1号位置), 小明有P的概率向前移动一步, 有(1-P)的概率向前移动两步, 问小明能安全通过这条路的概率.

输入格式:

1 . 输入多组数据, 以EOF结束

2 . 每组数据包括两行, 第一行输入N,P , 分别表示地雷数目和走一步的概率;

第二行输入N个正整数, 表示地雷的位置;

输出格式:

每组数据的结果占据一行, 表示安全通过的概率, 以7位浮点数表示

示例输入:

10.5

2

20.5

24

示例输出:

0.5000000

0.2500000

解题思路 :

先将题目转化为概率DP(动态规划)的问题, 再优化为矩阵乘法问题.

1 . 使用最小优先队列来记录路上所有地雷的位置.

2 . 定义Dp[ i ]表示小明能安全到达第i号位置的概率.

3 . 状态转移方程 :

Dp[ i ] = P*Dp[i-1] + (1-P)Dp[i-2] ;  // 第 i 号位置没有地雷

Dp[ i ] = 0;       // 第 i 号位置有地雷

4 . 矩阵表达式:

5 . 当 i 号位置存在地雷时 , 设Dp[ i ] = 0;

6 . 当有两个连续位置存在地雷时, 最后结果必然为0

有了上述的理论基础, 我们可以给出如下代码:

#include <iostream>#include <vector>#include <queue>#include <iomanip>#include <functional>using namespace std;typedef unsigned int uint;typedef uint SizeType;typedef uint IndexType;typedef double ValueType;typedef vector<ValueType> RowType;typedef vector<RowType> ContainerType;// ...矩阵类的实现 class Matrix{public:Matrix( SizeType nRow, SizeType nCol, ValueType initVal ):m_mtx( *(new ContainerType( nRow, RowType(nCol,initVal) )) ){}Matrix( const Matrix& right ):m_mtx(*(new ContainerType( right.m_mtx ))){}~Matrix(){ delete &m_mtx; }inline SizeType GetRow()const{ return m_mtx.size(); }inline SizeType GetCol()const{ return GetRow()?m_mtx[0].size():0;}inline const ValueType& operator()( IndexType row, IndexType col )const{ return m_mtx[row][col]; }inline ValueType& operator()( IndexType row, IndexType col ){ return m_mtx[row][col]; }const Matrix& operator=( const Matrix& right ){ return (m_mtx = right.m_mtx,*this);}const Matrix operator*( const Matrix& right )const{Matrix Res( GetRow(), right.GetCol(), 0);if( GetCol()==right.GetRow()){const Matrix& left = *this;SizeType row = GetRow(), col = right.GetCol(),end = GetCol();for( IndexType i = 0; i < row; ++i) for( IndexType j = 0; j < col; ++j)for( IndexType t = 0; t < end; ++t )Res(i,j) += left(i,t)*right(t,j);}return Res;}// ...矩阵乘法 const Matrix& operator*=( const Matrix& right ){ return *this = *this*right; }static Matrix GetIdentity( SizeType nDimension ){Matrix Id( nDimension, nDimension, 0);for( IndexType i = 0; i < nDimension; ++i ) Id(i,i) = 1;return Id;}// ...获得n阶单位矩阵 const Matrix operator^( uint N )const{Matrix Res = GetIdentity( GetRow() ), Mul(*this);while( N ){if( N&1 ) Res *= Mul;Mul *= Mul;N>>=1;}return Res;}// ...矩阵快速幂 const Matrix& operator^=( uint N ){return *this = *this^N; }protected:ContainerType &m_mtx;//...矩阵容器 };// ...数据集采用优先队列实现( 升序排序 ) typedef priority_queue< IndexType,vector<IndexType>,greater<IndexType> > DataSetType; typedef queue< ValueType >ResultSetType;// ...结果集采用普通队列实现 void Calculate( DataSetType& DSet, ResultSetType& RSet,ValueType P){Matrix Base(1,2,0);// ...基本概率矩阵: Base = [ dp(i), dp(i-1) ];Matrix Ext(2,2,0);// ...线性组合描述矩阵 : dp(i+1) = dp(i)*P + dp(i-1)*(1-P) ;uint N = 0,preN = 0,from = 1;// ...当前死亡位置, 前一个死亡位置, 开始位置 Ext(0,0) = P;//  |-    -|Ext(0,1) = 1.0;//  | P   ,  1 |Ext(1,0) = 1-P;//Ext =     |      |Ext(1,1) = 0;//  | 1-P ,  0 |Base(0,0) = 1;//  |-    -|while( !DSet.empty() ){Matrix M(Ext);preN = N;// ...记录前一次的死亡位置 N = DSet.top();// ...获取下一个死亡位置 DSet.pop();if( preN+1 == N ){ // ...如存在两个连续的死亡位置, 则必然无法成功渡过 RSet.push( 0.0 );while( !DSet.empty() ) DSet.pop();return;}M^=(N-from);// ...从上一个位置 到 下一个死亡位置, 需前进N-from步,即N-from次线性组合 Base*=M;// ...表示从起始位置Base,经过矩阵M描述的线性变换 Base(0,0) = 0.0;// ...那是一个死亡位置, 安全到达的概率必然为0 from = N;}RSet.push( Base(0,1)*Ext(1,0) );}int main(int argc, char** argv) {ResultSetType RSet;// ...结果集合 DataSetType DSet;// ...数据集合 uint N,data;ValueType P;while(cin >> N >> P){for( uint i = 0; i < N; ++i) {cin >> data;DSet.push( data );}Calculate( DSet, RSet , P);}while( !RSet.empty() ){cout << fixed << setprecision(7) << RSet.front() << endl;RSet.pop();}return 0;}