hdu 2865 Birthday Toy (polya，好题)

来源：互联网发布：凯立德端口查看编辑：程序博客网时间：2024/05/15 23:43

题意：

有一个环由n个组合和一个中心珠子组成，现在有k中颜色，问相邻的不能同色的染色方案数。

题解：

这题的n很大所以只能枚举约数gcd(n,i)=r，但是k也超级大，完全无法用关系矩阵解决。那么要考虑是否有规律。对于中心有珠子的这种染色法，明显可以枚举中心珠子的颜色，然后计算k-个颜色嫩染多少种的情况，最后乘以k即可。我们可以枚举外围的第一个珠子颜色，然后用dp解决这种排列问题。现在假设枚举第一个珠子颜色是黑色，那么开始的状态dp[1][0]=0,dp[1][1]=1，接下来这个两个方程很快就能出来：dp[i][1]=dp[i][1],dp[i][0]=dp[i][0]*(k-3)+dp[i][1]*(k-2);最终要得到dp[r][0].发现这个r非常的大，无法直接递推，考虑用举证优化这个dp，于是就用矩阵乘法搞定，ORZ！

#include<iostream>#include<math.h>#include<stdio.h>#include<algorithm>#include<string.h>#include<vector>#include<queue>#include<map>#include<set>#include<stack>#include<string>#define B(x) (1<<(x))using namespace std;typedef long long ll;void cmax(int &a,int b){ if(b>a)a=b; }void cmin(int &a,int b){ if(b<a)a=b; }void cmax(ll &a,ll b){ if(b>a)a=b; }void cmin(ll &a,ll b){ if(b<a)a=b; }void add(int &a,int b,int mod){ a=(a+b)%mod; }void add(ll &a,ll b,ll mod){ a=(a+b)%mod; }void add(int &a,int b){ a+=b; }void add(ll &a,ll b){ a+=b; }const int oo=0x3f3f3f3f;const ll MOD=1000000007;const int maxn = 15;int fac[1000000],cnt;int prime[100000],p;struct MAZE{    ll maze[4][4];    int n;MAZE(){ n=0;}MAZE(int n_){ memset(maze,0,sizeof maze); n=n_; }MAZE operator*(const MAZE &a)const{MAZE b(n);for(int i=1;i<=n;i++)            for(int j=1;j<=n;j++)                for(int k=1;k<=n;k++)                    b.maze[i][j]=(b.maze[i][j]+maze[i][k]*a.maze[k][j]%MOD+MOD)%MOD;return b;}};MAZE maze_pow(MAZE a,int k){    MAZE b(a.n);    for(int i=1;i<=b.n;i++)b.maze[i][i]=1;    while(k){        if(k&1) b=a*b;        a=a*a;        k>>=1;    }    return b;}void get_fac(int n){    cnt=0;    for(int i=1;(ll)i*i<=n;i++){        if(n%i==0){            fac[cnt++]=i;            if(n/i!=i)                fac[cnt++]=n/i;        }    }    //sort(fac,fac+cnt);}ll dfs(int s,int x){    ll res=0;    for(int i=s;i<p;i++){        res+=x/prime[i]-dfs(i+1,x/prime[i]);    }    return res;}ll Count(int n){    p=0;    int m=n;    for(int i=2;(ll)i*i<=n;i++){        if(n%i==0){            prime[p++]=i;            while(n%i==0)                n/=i;        }    }    if(n>1&&prime[p-1]!=n)prime[p++]=n;    return ((ll)m-dfs(0,m))%MOD;}ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){    if(b==0){        x=1;        y=0;        return a;    }    ll d=ex_gcd(b,a%b,x,y);    ll t=x;    x=y;    y=t-a/b*y;    return d;}ll solve(int c,int r){    MAZE a(2);    a.maze[1][1]=c-3;a.maze[1][2]=c-2;    a.maze[2][1]=1;a.maze[2][2]=0;    a=maze_pow(a,r-1);    ll ans=a.maze[1][2]*(c-1)%MOD;    return ans;}int main(){int n,c;while(scanf("%d %d",&n,&c)!=EOF){get_fac(n);ll ans=0;for(int i=0;i<cnt;i++){            ans=(ans+Count(n/fac[i])*solve(c,fac[i])%MOD)%MOD;}ans=(ans%MOD+MOD)%MOD;ans=(ans*c)%MOD;ll x=0,y=0;ex_gcd(n,MOD,x,y);x=(x%MOD+MOD)%MOD;ans=(ans*x)%MOD;cout<<ans<<endl;}    return 0;}

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