Dijkstra算法
来源:互联网 发布:吉林大学网络平台登陆 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 16:30
求解最短路问题:
***注意***:用Dijkstra算法求解图论中的最短路径问题的前提是保证图中没有负边,否则,不能用次算法正确求解.
因为Dijkstra算法在计算最短路径时,不会因为负边的出现而更新已经计算过的顶点的路径长度,这样一来,在存在负边的图中,就可能有某些顶点最终计算出的路径长度不是最短路径.
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(声明:以下部分来源于www.wutianqi.com)
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解,但由于它遍历计算的节点很多,所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。
其基本思想是,设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。
初始时,S中仅含有源。设u是G的某一个顶点,把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径,并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u,将u添加到S中,同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点,dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。
例如,对下图中的有向图,应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。
Dijkstra算法的迭代过程:
主题好好理解上图.
代码:
#include <iostream>using namespace std; const int maxnum = 100;const int maxint = 999999; // 各数组都从下标1开始int dist[maxnum]; // 表示当前点到源点的最短路径长度int prev[maxnum]; // 记录当前点的前一个结点int c[maxnum][maxnum]; // 记录图的两点间路径长度int n, line; // 图的结点数和路径数 // n -- n nodes// v -- the source node// dist[] -- the distance from the ith node to the source node// prev[] -- the previous node of the ith node// c[][] -- every two nodes' distancevoid Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum]){bool s[maxnum]; // 判断是否已存入该点到S集合中for(int i=1; i<=n; ++i){dist[i] = c[v][i];s[i] = 0; // 初始都未用过该点if(dist[i] == maxint)prev[i] = 0;elseprev[i] = v;}dist[v] = 0;s[v] = 1; // 依次将未放入S集合的结点中,取dist[]最小值的结点,放入结合S中// 一旦S包含了所有V中顶点,dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度 // 注意是从第二个节点开始,第一个为源点for(int i=2; i<=n; ++i){int tmp = maxint;int u = v;// 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值for(int j=1; j<=n; ++j)if((!s[j]) && dist[j]<tmp){u = j; // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码tmp = dist[j];}s[u] = 1; // 表示u点已存入S集合中 // 更新distfor(int j=1; j<=n; ++j)if((!s[j]) && c[u][j]<maxint){int newdist = dist[u] + c[u][j];if(newdist < dist[j]){dist[j] = newdist;prev[j] = u;}}}} // 查找从源点v到终点u的路径,并输出void searchPath(int *prev,int v, int u){int que[maxnum];int tot = 1;que[tot] = u;tot++;int tmp = prev[u];while(tmp != v){que[tot] = tmp;tot++;tmp = prev[tmp];}que[tot] = v;for(int i=tot; i>=1; --i)if(i != 1)cout << que[i] << " -> ";elsecout << que[i] << endl;} int main(){freopen("input.txt", "r", stdin);// 各数组都从下标1开始 // 输入结点数cin >> n;// 输入路径数cin >> line;int p, q, len; // 输入p, q两点及其路径长度 // 初始化c[][]为maxintfor(int i=1; i<=n; ++i)for(int j=1; j<=n; ++j)c[i][j] = maxint; for(int i=1; i<=line; ++i) {cin >> p >> q >> len;if(len < c[p][q]) // 有重边{c[p][q] = len; // p指向qc[q][p] = len; // q指向p,这样表示无向图}} for(int i=1; i<=n; ++i)dist[i] = maxint;for(int i=1; i<=n; ++i){for(int j=1; j<=n; ++j)printf("%8d", c[i][j]);printf("\n");} Dijkstra(n, 1, dist, prev, c); // 最短路径长度cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl; // 路径cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";searchPath(prev, 1, n);}
输入数据:
5
7
1 2 10
1 4 30
1 5 100
2 3 50
3 5 10
4 3 20
4 5 60
输出数据:
999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
最后给出两道题目练手,都是直接套用模版就OK的:
1.HDOJ 1874 畅通工程续
http://www.wutianqi.com/?p=1894
2.HDOJ 2544 最短路
http://www.wutianqi.com/?p=1892
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