汉诺塔问题合集

本文转载自：http://m.blog.csdn.net/blog/ulquiorra0cifer/7037305#

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汉诺塔I

经典汉诺塔问题。

可参考文章：http://blog.csdn.net/leo115/article/details/7991734

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汉诺塔II

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1207

Problem Description
经典的汉诺塔问题经常作为一个递归的经典例题存在。可能有人并不知道汉诺塔问题的典故。汉诺塔来源于印度传说的一个故事，上帝创造世界时作了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按大小顺序摞着64片黄金圆盘。上帝命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一回只能移动一个圆盘。有预言说，这件事完成时宇宙会在一瞬间闪电式毁灭。也有人相信婆罗门至今仍在一刻不停地搬动着圆盘。恩，当然这个传说并不可信，如今汉诺塔更多的是作为一个玩具存在。Gardon就收到了一个汉诺塔玩具作为生日礼物。
　　Gardon是个怕麻烦的人（恩，就是爱偷懒的人），很显然将64个圆盘逐一搬动直到所有的盘子都到达第三个柱子上很困难，所以Gardon决定作个小弊，他又找来了一根一模一样的柱子，通过这个柱子来更快的把所有的盘子移到第三个柱子上。下面的问题就是：当Gardon在一次游戏中使用了N个盘子时，他需要多少次移动才能把他们都移到第三个柱子上？很显然，在没有第四个柱子时，问题的解是2^N-1，但现在有了这个柱子的帮助，又该是多少呢？

Input
包含多组数据，每个数据一行，是盘子的数目N(1<=N<=64)。

Output
对于每组数据，输出一个数，到达目标需要的最少的移动数。

Sample Input

1
3
12

Sample Output

1
5
81

思路：把第一个塔上的盘子看成两部分，第一部份（上面的盘子）可以通过2个空塔移动到第二个塔上，第二部份（下面大的盘子）通过一个空塔移动到第四个塔上，然后在将第一部分的塔通过2个空塔移动到第四塔上，由于可以分成的2部分有很多种情况，所以比较每一种情况取最小的移动数。

#include <stdio.h>#include <math.h>int main(){    int i = 0, j = 0, n = 0;    unsigned __int64 a[65] = {0}, min = 0;    a[1] = 1, a[2] = 3;    for(i = 3; i<=64; i++)    {        min = 2*a[1]+(unsigned __int64)pow(2,(i-1))-1;        for(j = 2; j<i; j++)        {            if(2*a[j]+(unsigned __int64)pow(2,(i-j))-1<min)                min = 2*a[j]+(unsigned __int64)pow(2,(i-j))-1;        }        a[i] = min;    }    while(scanf("%d",&n) !=    EOF)    {        printf("%I64u\n",a[n]);    }    return 0;}

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汉诺塔III

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2064

Problem Description
约19世纪末，在欧州的商店中出售一种智力玩具，在一块铜板上有三根杆，最左边的杆上自上而下、由小到大顺序串着由64个圆盘构成的塔。目的是将最左边杆上的盘全部移到右边的杆上，条件是一次只能移动一个盘，且不允许大盘放在小盘的上面。
现在我们改变游戏的玩法，不允许直接从最左(右)边移到最右(左)边(每次移动一定是移到中间杆或从中间移出)，也不允许大盘放到下盘的上面。
Daisy已经做过原来的汉诺塔问题和汉诺塔II，但碰到这个问题时，她想了很久都不能解决，现在请你帮助她。现在有N个圆盘，她至少多少次移动才能把这些圆盘从最左边移到最右边？

Input
包含多组数据，每次输入一个N值(1<=N=35)。

Output
对于每组数据，输出移动最小的次数。

Sample Input

1
3
12

Sample Output

2
26
531440

思路：当第一个塔上有n个盘时先把上面的n-1个盘移动到第三个塔上再把第n个盘移动到第二个塔上，这时在把第三个塔上的n-1个盘移动到第一个塔，在把第二个塔上的第n个盘移动到第三个塔上，这时在把第一个塔上的n-1个盘移动到第三个塔上。递推公式为3*f(n)+2。

#include <stdio.h>int main(){    __int64 num[36] = {0}, i = 0, n = 0;    num[1] = 2, num[2] = 8;    for(i = 3; i<=35; i++)    {        num[i] = 3*num[i-1] + 2;    }    while(scanf("%d",&n) != EOF)    {        printf("%I64d\n",num[n]);    }    return 0;}

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汉诺塔IV

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2077

Problem Description
还记得汉诺塔III吗？他的规则是这样的：不允许直接从最左(右)边移到最右(左)边(每次移动一定是移到中间杆或从中间移出)，也不允许大盘放到小盘的上面。xhd在想如果我们允许最大的盘子放到最上面会怎么样呢？（只允许最大的放在最上面）当然最后需要的结果是盘子从小到大排在最右边。

Input
输入数据的第一行是一个数据T，表示有T组数据。
每组数据有一个正整数n(1 <= n <= 20)，表示有n个盘子。

Output
对于每组输入数据，最少需要的摆放次数。

Sample Input

2
1
10

Sample Output

2
19684

思路：第一个塔上有n个盘子先把上面的n-1个盘子移动到中间的那个塔上，步数为如下的b[n-1] 步，在把第一个塔上的第n个盘移动到第三个塔上 需要2步，在把中间的n-1个盘子移动到第三个塔上，步数为c[n-1]。a[i]为汉诺塔三的递推。

Ps：思路可能复杂了。

#include <stdio.h>int main(){    __int64 a[21] = {0}, b[21] = {0}, c[21] = {0}, d[21] = {0};    int i = 0, j = 0, n = 0;    a[1] = 2, a[2] = 8;    for(i = 3; i<=20; i++)    {        a[i] = 3*a[i-1] + 2;    }    b[1] = 1, b[2] = 4;    for(i = 3; i<=20; i++)    {        b[i] = a[i-1] + 1 + b[i-1];    }    c[1] = 1, c[2] = 4;    for(i = 3; i<=20; i++)    {        c[i] = c[i-1]+a[i-1]+1;    }    d[1] = 2, d[2] = 4;    for(i = 3; i<=20; i++)    {        d[i] = b[i-1]+c[i-1]+2;    }    scanf("%d",&n);    for(i = 0; i<n; i++)    {        scanf("%d",&j);        printf("%I64d\n",d[j]);    }    return 0;}

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汉诺塔V

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1995

Problem Description
用1,2,…,n表示n个盘子，称为1号盘，2号盘,…。号数大盘子就大。经典的汉诺塔问
题经常作为一个递归的经典例题存在。可能有人并不知道汉诺塔问题的典故。汉诺塔来源于
印度传说的一个故事，上帝创造世界时作了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按大小
顺序摞着64片黄金圆盘。上帝命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱
子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一回只能移动一个圆盘。我们
知道最少需要移动2^64-1次.在移动过程中发现，有的圆盘移动次数多，有的少 。 告之盘
子总数和盘号，计算该盘子的移动次数.

Input
包含多组数据，首先输入T,表示有T组数据.每个数据一行，是盘子的数目N(1<=N<=60)和盘
号k(1<=k<=N)。

Output
对于每组数据，输出一个数，到达目标时k号盘需要的最少移动数。

Sample Input

2
60 1
3 1

Sample Output

576460752303423488
4

思路：递推公式sum = pow（2，N-k）。

#include <stdio.h>#include <math.h>int main(){    int i = 0, n = 0;    __int64 sum = 0 ,N = 0, k = 0;    scanf("%d",&n);    for(i = 0; i<n; i++)    {        scanf("%I64d %I64d",&N, &k);        sum = pow(2,N-k);        printf("%I64d\n",sum);    }    return 0;}

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汉诺塔VI（循环汉诺塔）

代码出自：http://zhidao.baidu.com/question/485822582.html

可能大家都学过Hanoi Tower。Hanoi Tower originated from an Indian story，上帝创造世界时作了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按大小顺序摞着64片黄金圆盘。上帝命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一回只能移动一个圆盘。有预言说，这件事完成时宇宙会在一瞬间闪电式毁灭。也有人相信婆罗门至今仍在一刻不停地搬动着圆盘。恩，当然这个传说并不可信，如今汉诺塔更多的是作为一个玩具存在。Gardon就收到了一个汉诺塔玩具作为生日礼物。Handsome想了一个新的规定,如果所有移动一定是顺时针方向,也就是说,从A到B,或从B到另一个杆,或从另一个杆到A.现在Handsome想知道一次游戏种使用N个盘子时,他最少需要多少次移动才能把他们从A转移到B.很显然，在没有限定只能顺时针时，问题的解是2^N-1，但现在有这个要求，又该是多少呢？
Input
包含多组数据，每个数据一行，是盘子的数目N(1<=N<=40)。
Output
对于每组数据，输出一个数，到达目标需要的最少的移动数。
Sample Input

1
5

Sample Output

1
119

递归如下：
F(A, B, C, n) //从A移动n个盘子到C
= 【A的下一根柱子是C】F(A, C, B, n-1) + A->C + F(B, A, C, n-1); //+表示连接关系，要先从A移动n-1个到B,然后A->C,再把B上n-1个移到C
= 【否则】F(A, B, C, n-1) + A->B + F(C, B, A, n-1) + B->C + F(A, B, C, n-1);
所以程序如下：

# include <iostream>using namespace std;int step=0;//记录移动的步数void hanoi(int A, int B, int C, int n){    if(!n)return;    if((A+1)%3 == C)        //A的下一根柱子是C的情况    {        hanoi(A, C, B, n-1);        //;A->C把A移动到C        ++step;        hanoi(B, A, C, n-1);        return;    }            //否则    hanoi(A, B, C, n-1);    //A->B,把A移动到B    ++step;    hanoi(C, B, A, n-1);    //B->C,把B移动到C    ++step;    hanoi(A, B, C, n-1);}int main(){    int N;    while (cin>>N)    {        hanoi(0, 2, 1, N);// N是移动盘数,注意这里移动的目的地是B        cout<<step<<endl;        step=0;    }}

加了顺时针的限制后移动次数将非常多，问题复杂度很高

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参考文献：
http://www.cnblogs.com/jackge/p/3218155.html