函数

主要内容

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1. 函数的基本概念与性质（单射，满射，双射）  2. 函数的合成与反函数 

学习要求

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1. 掌握：函数、A到B的函数、集合在函数下的像、集合在函数下的完全原像的概念及表示法；当A与B都是有穷集时，会求A到B的函数的个数  2. 掌握：A到B的函数是单射、满射、和双射的定义及证明方法  3. 掌握：常函数、恒等函数、单调函数、特征函数、自然映射等概念  4. 掌握：合成函数的主要性质和求合成函数的方法  5. 掌握：反函数的概念及主要性质 

函数的定义与性质

函数和像

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　　函数是一种特殊的二元关系。
  定义8.1 设F为二元关系，若x∈domF都存在唯一的y∈ranF使xFy成立，则称F为函数(函数也可以称作映射)。对于函数F，如果有xFy，则记作y=F(x)，并称y为F在x的值。
  例8.1 设
　　　　F₁={<x₁,y₁>,<x₂,y₂>,<x₃,y₂>}
　　　　F₂={<x₁,y₁>,<x₁,y₂>}
判断它们是否为函数。
　　解　F₁是函数，F₂不是函数，因为对应于x₁存在y₁和y₂满足x₁F₂y₁和x₁F₂y₂，与函数定义矛盾。
　　由于函数是集合，可以用集合相等来定义函数的相等。

定义8.2 设F，G为函数，则
　　　　F=GFG∧GF
　　由以上定义可知，如果两个函数F和G相等，一定满足下面两个条件：
　　1．domF=domG
　　2．x∈domF=domG都有F(x)=G(x)
例如函数F(x)=(x²-1)/(x+1)，G(x)=x-1是不相等的，因为 domF={x|x∈R∧x≠-1} 而domG=R。domF≠domG。

定义8.3 设A，B为集合，如果f为函数，且domf=A，ranfB，则称f为从A到B的函数，记作f：A→B。
　　例如f：N→N，f(x)=2x是从N到N的函数，g：N→N，g(x)=2也是从N到N的函数。

定义8.4 所有从A到B的函数的集合记作B^A，读作“B上A”。符号化表示为

　　　　B^A={f|f：A→B}

函数的性质

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　　下面讨论函数的性质。

定义8.6 设f：A→B，
　　(1)若ranf=B，则称f：A→B是满射的。
　　(2)若y∈ranf都存在唯一的x∈A使得f(x)=y，则称f：A→B是单射的。
　　(3)若f：A→B既是满射又是单射的，则称f：A→B是双射的(或一一映像)。
　　由定义不难看出，如果f：A→B是满射的，则对于任意的y∈B，都存在x∈A，使得f(x)=y。如果f：A→B是单射的，则对于x₁，x₂∈A，x₁≠x₂，一定有f(x₁)≠f(x₂)。换句话说，如果对于x₁，x₂∈A有f(x₁)=f(x₂)，则一定有x₁=x₂。

  例8.4 判断下面函数是否为单射，满射，双射的，为什么?
　　(1) f：R→R，f(x)= -x²+2x-1
　　(2) f：Z⁺→R，f(x)=lnx，Z⁺为正整数集
　　(3) f：R→Z，f(x)=
　　(4) f：R→R，f(x)=2x+1
　　(5) f：R⁺→R⁺，f(x)=(x²+1)/x，其中R⁺为正实数集。

　　解 (1) f：R→R，f(x)=-x²+2x-1是开口向下的抛物线，不是单调函数，并且在x=1点取得极大值0。因此它既不是单射也不是满射的。
　　(2) f：Z⁺→R，f(x)=lnx是单调上升的，因此是单射的。但不是满射的，因为ranf={ln1，ln2，…}R。
　　(3) f：R→Z，f(x)=是满射的，但不是单射的，例如f(1.5)=f(1.2)=1。
　　(4) f：R→R，f(x)=2x+1是满射，单射，双射的，因为它是单调函数并且ranf=R。
　　(5) f：R⁺→R⁺，f(x)=(x²+1)/x不是单射的，也不是满射的，当x→0时，f(x)→+∞；而当x→+∞时，f(x)→+∞。在x=1处函数f(x)取得极小值f(1)=2。所以该函数既不是单射的也不是满射的。

常用函数

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　　下面定义一些常用的函数。
  定义8.7
　　(1) 设f：A→B，如果存在y∈B使得对所有的x∈A都有f(x)=y，则称f：A→B是常函数。
　　(2) 称A上的恒等关系I_A为A上的恒等函数，对所有的x∈A都有I_A(x)=x。
　　(3) 设<A,>，<B,>为偏序集，f：A→B，如果对任意的x₁，x₂∈A，x₁x₂，就有f(x₁)f(x₂)，则称f为单调递增的；如果对任意的x₁，x₂∈A，x₁x₂，就有f(x₁)f(x₂)，则称f为严格单调递增的。类似的也可以定义单调递减和严格单调递减的函数。
　　(4) 设A为集合，对于任意的A'A，A'的特征函数_A'：A→{0,1}定义为
　　　　　　_A'(a)=1，a∈A'
　　　　　　_A'(a)=0，a∈A-A'
　　(5) 设R是A上的等价关系，令
　　　　　　g：A→A/R
　　　　　　g(a)=[a]，a∈A
称g是从A到商集A/R的自然映射。
　　大家都很熟悉实数集R上的函数f：R→R，f(x)=x+1，它是单调递增的和严格单调递增的，但它只是上面定义中的单调函数的特例。而在上面的定义中，单调函数可以定义于一般的偏序集上。例如，给定偏序集<P({a，b}),R>，<{0，1},≤>，其中R为集合的包含关系，≤为一般的小于等于关系。令f：P({a,b})→{0,1}，f()=f({a})=f({b})=0，f({a,b})=1，则f是单调递增的，但不是严格单调递增的。
　　再谈谈集合的特征函数。设A为集合，不难证明，A的每一个子集A'都对应于一个特征函数，不同的子集对应于不同的特征函数。例如A={a，b，c}，则有
　　　　　　_{a}={<a,1>,<b,0>,<c,0>}
　　　　　　={<a,0>,<b,0>,<c,0>}
　　　　　　_{a,b}={<a,1>,<b,1>,<c,0>}
由于A的子集与特征函数的对应关系，可以用特征函数来标记A的不同的子集。
　　最后谈谈自然映射g。给定集合A和A上的等价关系R，就可以确定一个自然映射g：A→A/R。例如A={1,2,3}，R={<1,2>,<2,1>}∪I_A是A上的等价关系，那么有
　　　　　　g(1)=g(2)={1,2}，g(3)={3}
不同的等价关系将确定不同的自然映射，其中恒等关系所确定的自然映射是双射，而其他的自然映射一般来说只是满射。

函数的复合与反函数

函数的复合

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　　函数是一种特殊的二元关系，函数的复合就是关系的右复合。一切和关系右复合有关的定理都是用于函数的复合。下面着重考虑函数在复合中特有的性质。
定理8.1 设F，G是函数，则FG也是函数，且满足
　　（1）dom(FG)={x|x∈domF∧F(x)∈domG}
　　（2）x∈dom(FG)有FG(x)=G(F(x))
　　证 因为F，G是关系，所以FG也是关系。
　　若对某个x∈dom(FG)由xFGy₁和 xFGy₂，则
　　　　<x，y₁>∈FG∧<x，y₂>∈FG
　 　t₁(<x,t₁>∈F∧<t₁,y₁>∈G)∧t₂(<x,t₂>∈F∧<t₂,y₂>∈G)
　 　t₁t₂(t₁=t₂∧<t₁,y₁>∈G∧<t₂,y₂>∈G　　　　　(F为函数)
　 　y₁=y₂　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　（G为函数）
所以FG为函数。
　　任取x，x∈dom(FG)
　 　ty(<x,t>∈F∧<t,y>∈G)
　 　t(x∈domF∧t=F(x)∧t∈domG)
　 　x∈{x|x∈domF∧F(x)∈domG}
　　任取x，x∈domF∧F(x)∈domG
　 　<x,F(x)>∈F∧<F(x),G(F(x))>∈G
　 　<x,G(F(x))>∈FG
　 　x∈dom(FG)∧FG(x)＝G(F(x))
所以（1）和（2）得证。
推论1 设F，G，H为函数，则（FG）H和F(GH)都是函数，且

　　　　(FG)H=F(GH)
　　证 由定理8.1和定理7.2得证。
推论2 设f：A→B，g：B→C，则fg：A→C，且x∈A都有fg(x)=g(f(x))。
　　证 由定理8.1可知fg是函数，且
　　　　dom(fg)={x|x∈domf∧f(x)∈domg}
　　　　　　　　　={x|x∈A∧f(x)∈B}=A
　　　　ran(fg)rangC
因此由fg：A→C，且x∈A有fg(x)=g(f(x))。

反函数

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　　下面考虑函数的逆运算。
　　任给函数F，它的逆F^-1不一定是函数，只是一个二元关系。 例如
　　　　F={<x₁,y₁>,<x₂,y₁>}
则有
　　　　F^-1={<y₁,x₁>,<y₁,x₂>}
显然，F^-1不是函数。因为对于y₁∈domF^-1有x₁和x₂两个值与之对应，破坏了函数的单值性。
　　任给单射函数f：A→B，则f^-1是函数，且是从ranf到A的双射函数，但不一定是从B到A的双射函数。因为对于某些y∈B－ranf，f^-1没有值与之对应。
　　对于什么样的函数f：A→B，它的逆f^-1：B→A是从B到A的函数f^-1：B→A呢？我们有以下定理。
 定理8.4 设f：A→B是双射的，则f^-1：B→A也是双射的。
　　证 先证明f^-1是从B到A的函数f^-1：B→A.因为f是函数，所以f^-1是关系，且由定理7.1得
　　　　domf^-1=ranf=B
　　　　ranf^-1=domf=A
　　对于任意的x∈B=domf^-1，假设有y₁，y₂∈A使得
　　　　<x,y₁>∈f^-1∧<x,y₂>∈f^-1
成立，则有逆的定义有
　　　　<y₁,x>∈f∧<y₂,x>∈f
根据f的单射性可得y₁=y₂，从而证明了f^-1是函数的。综上所述，f^-1：B→A是满射的函数。
　　再证明f^-1：B→A的单射性。若存在x₁，x₂∈B使得f^-1(x₁)=f^-1(x₂)=y，从而有
　　　　<x₁,y>∈f^-1∧<x₂,y>∈f^-1
　 　<y,x₁>∈f∧<y,x₂>∈f
　 　x₁=x₂ 　　　　　　　　　　　　　（因为f是函数）
　　对于双射函数f：A→B，称f^-1：B→A是它的反函数。

习题

1.设f：N→N，且
　　　

求f(0)，f({0})，f(1)，f({1})，f({0，2，4，6，…})，f({4，6，8})，f({1，3，5，7})。
2.设A={1，2}，B={a，b，c}，求B^A。
3.给定函数f和集合A，B如下：
　　(1) f：R→R，f(x)=x，A={8}，B={4}
　　(2) f：R→R⁺，f(x)=2x，A={1}，B={1，2}
　　(3) f：N→N×N，f(x)=<x，x+1}，A={5}，B={<2，3>}
　　(4) f：N→N，f(x)=2x+1，A={2，3}，B={1，3}
　　(5) f：Z→N，f(x)=|x|，A={-1，2}，B={1}
　　(6) f：S→S，S=[0，1]，f(x)=x/2+1/4，A=(0，1)，B=[1/4，1/2]
　　(7) f：S→R，S=[0，+∞)，f(x)=1/(x+1)，A={0，1/2}，B={1/2}
　　(8) f：S→R⁺，S=(0，1)，f(x)=1/x，A=S，B={2，3}。
对以上每一组f和A，B，分别回答以下问题：
　　(a) f是不是满射，单射和双射的?如果f是双射的，求f的反函数。
　　(b)求A在f下的像f(A)和B在f下的完全原像f^-1(B)。
4.判断下列函数中那些是满射的？哪些是单射的？哪些是双射的？
　　(1) f：N→N，f(x)=x²+2
　　(2) f：N→N，f(x)=(x)mod 3，x除以3的余数。
　　(3) f：N→N，
　　(4) f：N→{0，1}，
　　(5) f：N-{0}→R，f(x)=log₁₀x
　　(6) f：R→R，f(x)=x²-2x-15
5.设A={1，2，3，4}，A₁={1，2}，A₂={1}，A₃=，求A₁，A₂，A₃和A的特征函数A₁，A₂，A₃和A。
6.设A={a，b，c}。R为A上的等价关系，且
　　 R={&lta，b>，<b，a>}∪I_A
求自然映射g：A→A/R。
7．设f，g，h∈R^R，且 f(x)=x+3，g(x)=2x+1，h(x)=
求fg，gf，ff，gg，hf，gh，fh，ghf。
8．设f，g，h∈N^N，且有
　　　f(n)=n+1，g(n)=2n，
求ff，gf，fg，hg，gh，hgf
9.对于以下集合A和B，构造从A到B的双射函数f：A→B。

　　(1)A={1，2，3}，B={a，b，c}
　　(2)A=(0，1)，B=(0，2)
　　(3)A={x|x∈Z∧x<0}，B=N
　　(4)A=R，B=R⁺
10.设f：N×N→N×N，f(<x，y>)=<(x+y)/2，(x-y)/2>，证明f是双射的。

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