算法导论笔记：14数据结构的扩张

一：概述

         一些工程应用只会使用教科书式的标准数据结构，但是也会有些应用需要对现有的数据结构进行少许的创新和改造，只有很少的情况会创造全新的数据结构。

 

二：动态顺序统计

         顺序统计：n个元素中第i个顺序统计量，就是具有第i小关键字的元素。对于一个无序的集合，可以在O(n)的时间内得到任意的顺序统计量。

 

         利用红黑树，可以在O(lg n)的时间内确定任意顺序统计量，同时也能在O(lg n)时间内确定元素的秩，红黑树中，元素的秩代表中序遍历时输出的位置。

 

         支持快速顺序统计操作的数据结构，是在红黑树的基础上进行了少许的改造，形成了顺序统计树。顺序统计树就是红黑树，只不过树种每个节点，除了具有红黑树的key, color, left, right, p等五个性之外，还附加了另外的性质：size，它表示以x为根的子树（包括x本身）的内（不计哨兵）节点数。并且定义哨兵的size为0，所以有下面的性质：

         x.size = x.left.size + x.right.size + 1

         下图就是一颗顺序统计树，每个节点中，上边是key，下边是size：

        

1：确定给定秩的元素

         利用size信息，可以在O(lg n)时间内确定给定秩的元素：OS-SELECT。它返回以x为根的子树中，指向第i小的关键字元素的指针，代码如下：

         OS-SELECT(x, i)       

                  r= x.left.size+1

                  if  i == r

                          return  x

                  else  if i < r

                          return  OS-SELECT(x.left, i)

                  else

                          return  OS-SELECT(x.right, i-r)

         该算法中，r表示以x为根的子树中，节点x的秩。如果i小于r，则需要在左子树中找第i小的元素，如果i大于r，则需要在右子树中找第i-r小的元素。

         OS-SELECT的总时间与树的高度成正比，所以该算法的时间复杂度为O(lg n)。

 

2：确定一个元素的秩

         给定元素x的指针，可以用OS-RANK返回元素x在树中的秩，代码如下：

         OS-RANK(x)

                  r = x.left.size+1

                  y = x

                  while  y != T.root

                          if  y = y.p.right

                                   r= r+y.p.left.size+1

                          y= y.p

                  returnr

         在该算法中，r表示以y为根的子树中，x的秩。如果y为父节点的左孩子，则x在y为根的子树中的秩也是在y.p为根的子树中的秩。如果y为父节点的右孩子，则x在y.p为根的子树中的秩，还需要加上y.p为根的子树中，左分支的节点数和y.p本身所占的位置，才是x在y.p为根的子树中秩。所以，最后y==root时，r就是在整个树中的秩。

         该算法的时间复杂度为O(lgn)。

 

         3：对子树规模的维护

         利用size属性，可以很快的计算出顺序统计量，但是，如果在统计数的改变过程中，不能在合理的时间内维护size属性，那么添加size属性将是无意义的，比如，在插入或者删除的过程中，如果维护元素size属性的时间超过了O(lg n)，则size变得无意义。下面就说明，插入和删除操作，会在O(lg n)时间内完成size的维护。

         插入操作，包括两个阶段，第一阶段从根节点开始沿树下降，将新节点插入到叶节点中。第二阶段是沿树上升，做一些变色或者旋转操作维护红黑树的性质。在第一阶段中，为了维护size的属性，可以将从根节点到新插入的叶子节点的路径上的每个节点的size加1即可。这个操作的时间复杂度为O(lg n)。在第二阶段，只有旋转操作才会导致size的属性变化，而红黑树的插入操作的旋转次数最多为2次。旋转操作是一种局部操作，只会使得2个节点的size属性失效，比如左旋代码中，增加下面两行就能维护size属性：

y.size = x.size

x.size = x.left.size + x.right.size +1

         左旋操作如下图：

         右旋操作也类似，所以对于插入操作来说，增加size属性后，插入的时间复杂度还是O(lg n)。

         删除操作也是分两个阶段，第一阶段找到y，要么将y删除，要么将y上移，所以遍历一条从节点y所在位置到根节点的路径，将每个节点的size减1即可。第二阶段是为了维护红黑树性质的变色和旋转操作，因删除操作最多需要3次旋转，因而，同插入操作一样，删除操作的时间复杂度也是O(lg n)。

 

三：如何扩张数据结构

         对基本的数据结构进行扩张，以支持一些附加功能，在算法设计中是很常见的，下面是扩张一种数据结构的基本步骤：

         a：选择一种基本数据结构；

         b：确定数据结构中需要维护的附加信息；

         c：检验基础数据结构上的基本修改操作是否能维护附加信息；

         d：设计新的操作。

        

         比如在利用红黑树进行顺序统计的工作中，a：选择了红黑树作为基本数据结构。b：在红黑树节点中添加了size属性。c：保证插入和删除操作仍能在O(lg n)时间内维护size属性。d：设计顺序统计的操作。

 

         当红黑树作为基本数据结构时，可以证明，某些类型的附加信息总是可以用插入和删除操作进行有效的维护：如果f是红黑树元素的附加属性，假设对于任意节点x，f的值仅仅依赖于x, x.left, x.right的信息，还可能包括x.left.f和x.right.f。那么在插入和删除操作中，可以在O(lg n)时间内维护f的属性。这是因为f属性的变动，只会影响到x的祖先，所以修改x.f，只需要更新x.p.f, x.p.p.f……。如此沿树向上即可。

 

四：区间树

         区间[a,b]便于表示占用一连续时间的事件，例如查询由时间区间构成的数据库，找出给定时间内发生了什么事。

         可以用对象i表示区间[a,b]， i.low = a;i.high = b。对于两个区间i和j来说，如果：i.low <= j.high并且j.low <= i.high，则表示两个区间i和j重叠。

         区间树是一种红黑树，树中的元素表示一个区间，该树支持的操作有：插入，删除，查找，其中，查找操作是返回一个指向x的指针，x与给定的区间i重叠。如果x不存在，则返回T.nil。

         下图为一些列的区间：

         为了支持查找重叠区间的操作，：

         a：选择红黑树作为基本数据结构，每个节点表示一个区间int，节点的关键字为区间的低点，也就是x.int.low。所以该数据结构中，中序遍历就能按照low的次序列出各区间。

         b：附加信息为max，max表示了以x为根的子树中，所有区间的端点high的最大值。

         c：x的max值：x.max =max(x.int.high, x.left.max, x.right.max)， 所以符合上面的定理，因而插入和删除操作能在O(lgn)时间内完成。

         d：插入和删除操作与红黑树的一样，这里只需要设计SEARCH操作。它可以找出树中，与给定区间i重叠的节点x，如果x不存在，返回T.nil。代码如下：

         INTERVAL-SEARCH(T, i)

                  x = T.root

                  while x != T.nil and i does not overlap x.int

                          if  x.left != T.nil and x.left.max >= i.low

                                   x= x.left

                          else  x = x.right

                  return  x

         该算法能保证，如果树中存在与i重叠的区间，该区间一定能被找到。该算法在循环中，判断x.left != T.nil and x.left.max >= i.low，如果不满足x.left.max >= i.low，则说明左子树中的节点的high值，都小于i的low值，所以左子树中不存在与i重叠的区间，因而在右子树中。

         如果满足了x.left.max >= i.low属性，则有可能左右子树中都会包含与i重叠的区间。首先在左子树中找，如果左子树中没有的话，右子树中一定也不存在，因为树的关键字为low值，左子树的low值肯定比右子树小。