快速幂算法及其拓展

摘要

本文讲解了快速幂算法的定义、复杂度证明及两种实现（递归与非递归），以及它的两个重要拓展：快速幂模M算法和矩阵快速幂。其中矩阵快速幂算法是矩阵求幂问题对整数求幂问题的借鉴，实际应用中对于线性递推式求解能起到强大的效率优化。

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快速幂算法

问题引入：求an(a,n∈N+)
朴素算法：令ans初始值为1，乘n次a得到an
朴素算法时间复杂度：O(n)

问题：如果n非常大，比如高达1015，怎么办？
思考：朴素算法哪里可以优化？

朴素算法的特点是，连乘过程中底数始终为a，这很不聪明。考虑下例：
a=2,n=15
我们没有必要乘15次2，注意到15=23+22+21+20，不妨将215拆分为223×222×221×220
然后看一下n的二进制形式：15=(1111)2.为什么要看这个呢？再举一个例子。

a=2,n=6
26=222×221，而6=(110)2

发现什么规律？
观察发现，当n的第i位（从低到高，i>=0）为1时，an的拆解表达式里就要乘上一项a2i.

于是我们有了朴素算法改进的思路：逐位判断幂次n的二进制位是否为1，若是，给答案乘上一个a2i.
改进后的算法的伪代码描述如下：

a, n, ans;ans=1;while n>0    a = a*a;    if n%2        ans = ans*a;    n = n/2;

这个算法的时间复杂度是多少呢？很显然，它取决于n的二进制形式有多少位，因此T(n)=⌈log2(n)⌉=O(logn).这就是快速幂算法。

其实快速幂算法还可以递归实现，因为：
当n为偶数时，an=(an/2)2
当n为奇数时，an=(an/2)2×a
边界条件：当n=1，答案为a
C语言描述如下：

int quick_power(int a, int n){    if(n == 1) return a;    int x = quick_power(a, n/2);    long long ans = (long long)x*x;    if(n%2) ans *= a;    return (int)ans;}

代码中加入了防溢出处理，用快速幂算法的时候比较容易犯的一个错误就是忘了考虑溢出，因此在使用的时候要看清楚数据范围，估算一下答案上界。另外，快速幂算法不推荐用递归实现，因为非递归版本不但代码也很简洁，而且效率还更优。

拓展一：快速幂模M算法

有时候所求幂的结果可能很大，于是问题要求对结果模上一个数M。我们只需要在原来算法的基础上运用一下模运算的性质即可。所谓模运算性质是指以下两条：
∑ni=1ai mod M=(∑ni=1ai mod M)mod M
∏ni=1ai mod M=(∏ni=1ai mod M)mod M
算法非递归实现的伪代码描述为

a, n, ans, M;ans=1;while n>0    a = a*a % M;    if n%2        ans = ans*a % M;    n = n/2;

拓展二：矩阵快速幂算法

快速幂算法解决的是整数求幂的问题，而矩阵快速幂解决的是矩阵求幂问题，两者没有本质的区别。如果用C++实现，我们只要定义一个矩阵类，然后重载一下乘法运算符，原先的快速幂算法几乎不需要改变。
矩阵快速幂常常用于线性递推式的加速。以下仅举一例。

快速求斐波那契数列第n项

对于这个问题，普通求法的复杂度是O(n)，现在我们用矩阵快速幂将它优化到O(logn).
首先，将递推式f(n)=f(n−1)+f(n−2)改写成矩阵形式

[f(n)f(n−2)f(n−1)f(n−3)]=[f(n−1)f(n−3)f(n−2)f(n−4)][1110]

进而得到

[f(n)f(n−2)f(n−1)f(n−3)]=[f(4)f(2)f(3)f(1)][1110]n−4

接下来，用矩阵加速算法求出[1110]n−4，再做一次矩阵乘法，所得矩阵的(0,0)元素就是最终结果。

对于更一般的线性递推式，构造其加速矩阵的方式超出了本文的论述范围，在此省略。