dp 01背包避免重复计算

前几天第一次接触到01背包，也就是最基本的背包。当时也是看了很久的，然后大体都理解了，掺杂着状态方程与各种图画描述理解的。

基本的实现代码大概是这样子的

//n代表物体数，V代表背包的体积,weight为物体的重量for(i=0;i<n;i++)<span style="white-space:pre"></span>for(j=V;j>=0;j--){if( j>=v[i] && dp[j-v[i]]+weight[i]>dp[i] )dp[i]=dp[j-v[i]]+weight[i];}

当时对于第二个循环 j=V从V开始，而不是从0开始，有点迷惑，后来理解了是为了避免重复计算：

比如说：当你更新第5个物品的时候（此时你各个体积的背包中的属性是当前物品当前体积下的最大重量），你必须且只能借用你更新了第四个物品后的背包去更新，假若j=V改成j=0，就会出现这样的情况 dp[5]已经是第五个物品下更新完后的状态了，当后面遇到dp[8]的更新要是用到dp[5]的话那么就会导致dp[8]重复计算了，所以必须要从后面更新到前面。

昨天有接触到了一个方案数背包的题目:hdu 2126

然后 “haha593572013”当时的有一部分的写法是

 for(int i=1;i<=n;i++)          {           for(int j=0;j<v[i];j++)dp[i][j][0]=dp[i-1][j][0],dp[i][j][1]=dp[i-1][j][1];              for(int j=v[i];j<=m;j++)              {                  if(dp[i-1][j-v[i]][0]+1>dp[i-1][j][0])                  {                      dp[i][j][0]=dp[i-1][j-v[i]][0]+1;                      dp[i][j][1]=dp[i-1][j-v[i]][1];                  }                  else if(dp[i-1][j-v[i]][0]+1==dp[i-1][j][0])                  {                      dp[i][j][0]=dp[i-1][j][0];                      dp[i][j][1]=dp[i-1][j][1]+dp[i-1][j-v[i]][1];                  }                  else                   {                      dp[i][j][0]=dp[i-1][j][0];                      dp[i][j][1]=dp[i-1][j][1];                  }              }          }  

j是从0开始的，后来发现（还是以上面那个例子），它更新第五个物品的时候仍然是用到更新完第四个物品的背包，

虽然此时j是从0开始，但是由于它是二维数组，所以，更新完第四个物品的状态都保存在上一层的数组，不会改变，因此就不会出现重复计算。

如：

 dp[i][j][0]=dp[i-1][j-v[i]][0]+1;

更新第i个物品时，是用到上一层更新完后的dp[i-1]下的状态，所以dp[i-1]是不会发生改变的。

最后写了一天的背包，多少有点理解：

首先是写出状态转移方程，找到思路。

然后给首层状态也就是“0”层状态（什么都没有操作下的状态）初始化，然后根据状态方程递推下去，求到第n层的解，总体有点像数学归纳。

根据状态方程写递推代码的时候，以hdu 2126为例.它的状态方程为

if(k>=p[i])  dp[i][j][k]+=dp[i-1][j-1][k-p[i]];  dp[i][j][k]+=dp[i-1][j][k];  

只需要看dp的前两维，我们需要求dp[i][j],状态的转移都是来自于dp[i-1][j-1]或者是dp[i-1][j],这两者的状态都需要在dp[i][j]之前准备好，就可以递推了，如何准备好这两者的状态呢，明显，这么做就可以满足

 <span style="font-size:24px;">for(int i=1;i<=n;i++)              for(int j=1;j<=i;j++)  </span>

这样就可以将dp[i-1]层的状态全部(全部，指的是i-1时对应的k=1,2......i)设置好，则dp[i]层便可以利用它进行转移

或者这么写

<span style="font-size:24px;"> for(int j=1;j<=n;j++)       for(int i=j;i<=n;i++) </span>

反正确认准备好了...就可以了，不用太纠结这点的..

最最后，状态递推的过程中，一定要保证状态的独立性，避免重复计算。

（此文是初学者接触背包几天后写下的复习笔记，若有错误或者可以改善的地方，或者有可以延伸到动态规划的知识深入系统的说明的地方，请各位大牛多多指点）