最长递增子序列
来源:互联网 发布:深入java虚拟机 豆瓣 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 06:13
最长递增子序列
http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/45241965
最长递增子序列(Longest Increasing Subsequence)是指找到一个给定序列的最长子序列的长度,使得子序列中的所有元素单调递增。
例如:{ 3,5,7,1,2,8 } 的 LIS 是 { 3,5,7,8 },长度为 4。
解法一:转化为求最长公共子序列
其实可以把 求最长递增子序列问题 转化为 求最长公共子序列的问题。
- 设数组 { 3, 5, 7, 1, 2, 8 } 为 A
- 对数组 A 排序,排序后的数组为 B = { 1, 2, 3, 5, 7, 8 }。
- 于是,求数组 A 的最长递增子序列,就是求数组 A 与数组 B 的最长公共子序列。
最长公共子序列的求法见《动态规划DP》。本方法的时间复杂度是
解法二:动态规划法
虽然解法一也是使用动态规划,但是与解法一不同的是,解法二不进行转化,而是直接在原问题上采用动态规划法。
最优子结构:
对于长度为 N 的数组
也就是
重叠子问题:
根据上述推导式采用递归实现的话,有些子问题会被计算很多次。
动态规划法:
综上所述,LIS 问题具有动态规划需要的两个性质,可以使用动态规划求解该问题。设数组 A = { 3,5,7,1,2,8 },则:
具体的打表方式如下:
- 初始化对角线为 1;
- 对每一个 i,遍历 j(0 到 i-1):
- 若
A[i] <= A[j]
,置 1。 - 若
A[i] > A[j]
,取第 j 行的最大值加 1。
- 若
打完表以后,最后一行的最大值就是最长递增子序列的长度。由于每次都进行遍历,故时间复杂度还是
// LIS 的动态规划方式实现#include <iostream>using namespace std;int getLISLength(int A[], int len) { //定义一维数组并初始化为1 int* lis = new int[len]; for (int i = 0; i < len; ++i) lis[i] = 1; // 计算每个i对应的lis最大值,即打表的过程 for (int i = 1; i < len; ++i) for (int j = 0; j < i; ++j) // 0到i-1 if ( A[i] > A[j] && lis[i] < lis[j] + 1) lis[i] = lis[j] + 1; // 更新 // 数组中最大的那个,就是最长递增子序列的长度 int maxlis = 0; for (int i = 0; i < len; ++i) if ( maxlis < lis[i] ) maxlis = lis[i]; delete [] lis; return maxlis;}
解法三:Θ(nlgn)的方案
本解法的具体操作如下:
- 建立一个辅助数组array,依次读取数组元素 x 与数组末尾元素 top比较:
- 如果 x > top,将 x 放到数组末尾;
- 如果 x < top,则二分查找数组中第一个 大于等于x 的数,并用 x 替换它。
遍历结束之后,最长递增序列长度即为栈的大小。
注意c数组的下标代表的是子序列的长度,c数组中的值也是按递增顺序排列的。这才可能用二分查找。
int getLISLength(int num[], int length) { vector<int> ivec; for (int i = 0; i < length; ++i) { if (ivec.size() == 0 || ivec.back() < num[i]) ivec.push_back(num[i]); else { int low = 0, high = ivec.size() - 1; while (low < high) { int mid = (low + high) / 2; if (ivec[mid] < num[i]) low = mid + 1; else high = mid - 1; } ivec[low] = num[i]; } } return ivec.size();}
特别注意的是:本方法只能用于求最长递增子序列的长度,辅助数组中的序列不是最长递增子序列:
例一:原序列为1,5,8,3,6,7
辅助数组为1,5,8,此时读到3,用3替换5,得到1,3,8; 再读6,用6替换8,得到1,3,6;再读7,得到最终栈为1,3,6,7。最长递增子序列为长度4。例二:原序列为1,5,8,3
则最栈辅助数组为1,3,8。明显这不是最长递增子序列!
合唱队问题
描述:计算最少出列多少位同学,使得剩下的同学排成合唱队形
说明:
N位同学站成一排,音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列,使得剩下的K位同学排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形:设K位同学从左到右依次编号为1,2…,K,他们的身高分别为T1,T2,…,TK, 则他们的身高满足存在i(1<=i<=K)使得Ti<T2<......<Ti-1<Ti>Ti+1>......>TK。
你的任务是,已知所有N位同学的身高,计算最少需要几位同学出列,可以使得剩下的同学排成合唱队形。
整数N
一行整数,空格隔开,N位同学身高
最少需要几位同学出列
8186 186 150 200 160 130 197 200样例输出:
4
根据题意可知,我们需要求出一个“中间点”,使得其左边的【最长递增子序列】和其右边的【最长递减子序列】之和最大。
#include <iostream> #include <vector> using namespace std; int LonggestIncreaseLength(vector<int> &vec) { vector<int> result(vec.size(), 1); vector<int> result2(vec.size(), 1); for (int i = 1; i < vec.size(); i++) { for (int j = 0; j < i; j++) { if (vec[i] > vec[j] && result[i] < result[j] + 1) result[i] = result[j] + 1; } } for (int i = vec.size() - 2; i >= 0; --i) { for (int j = vec.size() - 1; j > i; --j) { if (vec[i] > vec[j] && result2[i] < result2[j] + 1) result2[i] = result2[j] + 1; } } int max = 0; for (int i = 0; i < vec.size(); i++) { if (max < result[i] + result2[i]) max = result[i] + result2[i]; } return vec.size() - max + 1; } int main() { int n; cin >> n; if (n <= 0) return 0; vector<int> ivec(n); for (int i = 0; i < n; i++) cin >> ivec[i]; cout << LonggestIncreaseLength(ivec) << endl; }
- 最长递增子序列
- 最长递增子序列
- 最长递增子序列
- 最长递增子序列
- 最长递增子序列
- 最长递增子序列
- 最长递增子序列
- 最长递增子序列
- 最长递增子序列
- 最长递增子序列
- 最长递增子序列
- 最长递增子序列
- 最长递增子序列
- 最长递增子序列
- 最长递增子序列
- 最长递增子序列
- 最长递增子序列
- 最长递增子序列
- 第九周 项目四:向量类
- ContentProvider实现数据共享
- shader 入门 《顶点(vertexs) 图元(primitives) 片元(fragments片断) 像素(pixels)》
- Http同步请求与异步请求
- May.2.2015 今天是竟业结束77天
- 最长递增子序列
- 不同文件系统导致的乱码,tomcat乱码等
- javascript那些事(1)
- HTTP响应Chunked编码
- touch事件传递机制总结
- leetcode--Add Two Numbers
- WCF 获取数据对象时,报“基础连接已经关闭: 接收时发生错误”
- Hdoj 1520&Poj2342 Anniversary party 【树形DP】
- 转载一个google面试的准备清单