PCA算法

目前，pca算法已经广泛应用于各方面，就拿图像处理，经常做的一件事就是当提取的图像特征维度比较高时，为了简化计算量以及储存空间，需要对这些高维数据进行一定程度上的降维，并尽量保证数据的不失真。

先举个例子，方便理解：

    1）对于一个训练集，20个sample(i=1,2,3,...,20)，特征Xi是100维[Xi1,Xi2,Xi3,...Xij,...,Xi100](j=1,2,..,100)，那么它可以建立一个20*100的样本矩阵M。

    2）紧接着我们开始求这个样本的协方差矩阵，得到一个20*20的协方差矩阵，计算过程如下：

            •先求解出Xi的平均Xav=(∑xi)/20;

            •对每一个Xi,计算Xi-Xav,即Mi(第 i 行)变为 Mi-Xav,记为Mn;

            •则容易得到协方差矩阵Z为Mn*Mn'( ' 表示转置 ) 。

    3）然后求出这个协方差矩阵Z20x20的特征值和特征向量，一般情况下应该有20个特征值和特征向量，现在根据特征值的大小，取出较大的特征值以及其所对应的特征向量，（假设提取的特征值为较大的5个特征值），那么这5个特征向量就会构成一个20*5的矩阵V，这个矩阵就是我们要求的特征矩阵。

    4）用Mn'去乘以V，得到一个base矩阵（*），大小为100x5。

    5）任取一个样本1x100,乘上这个100*5的特征矩阵，就得到了一个1*5的新的样本，显然每个sample的维数下降了，然后再用这个1x5向量去比较相似性。

%一个修改后的PCA进行人脸识别的Matlab代码

clear;

% calc xmean,sigma and its eigen decomposition

allsamples=[];%所有训练图像

for i=1:40

    for j=1:5

      a=imread(strcat('C:\Documents and Settings\Foreigners\桌面\ORL\s',num2str(i),'\',num2str(j),'.bmp'));

      % imshow(a);

      b=a(1:112*92); % b是行矢量 1×N，其中N＝10304，提取顺序是先列后行，即从上到下，从左到右

      b=double(b);

      allsamples=[allsamples; b];  % allsamples 是一个M * N 矩阵，allsamples 中每一行数据代表一张图片，其中M＝200

  end

end

samplemean=mean(allsamples); % 平均图片，1 × N

for i=1:200 xmean(i,:)=allsamples(i,:)-samplemean; % xmean是一个M × N矩阵，xmean每一行保存的数据是“每个图片数据-平均图片”

end;

 

sigma=xmean*xmean';   % M * M 阶矩阵

[v d]=eig(sigma);

d1=diag(d);

[d2 index]=sort(d1); %以升序排序

cols=size(v,2);% 特征向量矩阵的列数

for i=1:cols

    vsort(:,i) = v(:, index(cols-i+1) ); % vsort 是一个M*col(注:col一般等于M)阶矩阵，保存的是按降序排列的特征向量,每一列构成一个特征向量

    dsort(i)   = d1( index(cols-i+1) );  % dsort 保存的是按降序排列的特征值，是一维行向量

end  %完成降序排列

%以下选择90%的能量

dsum = sum(dsort);

    dsum_extract = 0;

    p = 0;

    while( dsum_extract/dsum < 0.90)

        p = p + 1;

        dsum_extract = sum(dsort(1:p));

    end

i=1;

% (训练阶段)计算特征脸形成的坐标系

while (i<=p && dsort(i)>0)

    base(:,i) = dsort(i)^(-1/2) * xmean' * vsort(:,i);   % base是N×p阶矩阵，除以dsort(i)^(1/2)是对人脸图像的标准化，详见《基于PCA的人脸识别算法研究》p31

    i = i + 1;

end

 

% add by wolfsky 就是下面两行代码，将训练样本对坐标系上进行投影,得到一个 M*p 阶矩阵allcoor

allcoor = allsamples * base;

accu = 0;

 

% 测试过程

for i=1:40

    for j=6:10 %读入40 x 5 副测试图像

        a=imread(strcat('C:\Documents and Settings\Foreigners\桌面\ORL\s',num2str(i),'\',num2str(j),'.bmp'));

        b=a(1:10304);

        b=double(b);

        tcoor= b * base; %计算坐标，是1×p阶矩阵

        for k=1:200 

                mdist(k)=norm(tcoor-allcoor(k,:));

        end;

        %三阶近邻 

         

        [dist,index2]=sort(mdist);

        class1=floor( index2(1)/5 )+1;

        class2=floor(index2(2)/5)+1;

        class3=floor(index2(3)/5)+1;

        %class=class1;%%blue_lg

        if class1~=class2 && class2~=class3

            class="class1";

        elseif class1==class2

            class="class1";

            %elseif class2==class3

          %  class="class2";

        end;

        if class==i

            accu=accu+1;

        end;

    end;

end;

accuracy=accu/200 %输出识别率

%zuobiao=[1:100];

%plot(zuobiao,accuracy);