编程之美之1的数目

 给定一个十进制正整数N，写下从1开始到N的所有整数，然后数一下其中1出现的次数。

例如：

N=2，写下1，2。1只出现了1次。

1、写一个函数f（N），返回1到N之间，出现的“1”的个数，比如f（12）=5；

2、满足条件“f（N）=N”的最大的N是多少？

解法一：

从1遍历到N，计算每个数[1...N]上出现的1的次数。

public class Main {public static void main(String[] args) {int n = 100000000;System.out.println(fun(n));}private static int fun(int n) {int count = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {count += funExtra(i);}return count;}private static int funExtra(int n) {int count = 0;while (n > 0) {count += (n % 10 == 1) ? 1 : 0;n /= 10;}return count;}}

解法一的时间复杂度为O（N*log2（N））。

解法二：

从个位到遍历到最高位，计算每个位上面1出现的次数，同时进行累加。

例如：

N=12013

1、在个位上为3，则“1”出现的次数与前面的4位“1201”有关，出现“1”的次数为1201+1=1202次；

2、在十位上位1，则“1”出现的次数与前面的3位“121”和后面的“3”有关，出现“1”的次数为120*10+（3+1）=1204次；

3、在百位上位0，则“1”出现的次数与前面的2位“12”和后面的“13”有关，出现“1”的次数为12*100=1200次；

4、在千位上位2，则“1”出现的次数与前面的1位“1”和后面的“13”有关，出现“1”的次数为（1+1）*1000=2000次；

4、在万位上位1，则“1”出现的次数与后面的“2013”有关，出现“1”的次数为2013+1=2014次；

一共有7620个1。

其中，要注意的是必须对每个位上出现的数字分三种情况进行讨论：

1、“0”,

2、“1”,

3、“2,3,4,5,6,7,8,9”

代码如下：

public class Main {public static void main(String[] args) {int n = 12013;System.out.println(fun(n));}private static int fun(int n) {int mCurrent = 0;int mUp = 0;int mDown = 0;int j = 1;int count = 0;while (n / j != 0) {mCurrent = n / j % 10;mUp = n / (10 * j);mDown = n - (n / j) * j;switch (mCurrent) {case 0:count += mUp * j;break;case 1:count += mUp * j + mDown + 1;break;default:count += (mUp + 1) * j;break;}j *= 10;System.out.println(count);}return count;}}

对于满足N=f（N）的最大N是多少。

我们如下分析：

当N<=9时，1有1个；

当N<=99时，1有20个；

当N<=999时，1有300个；

可以得出公式：f（10^n-1）=n*10^（n-1）

可以发现当n>=10时，f（10^n-1）<n*10^（n-1），当n<=9时，f（10^n-1）>n*10^（n-1）。

在10^9-1<N<10^10-1之间，可能存在N=f（N）。

最后得到N=1111111110时，成立。