差分约束系统【模板】

差分约束系统：如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如 xj - xi<= bk ( i , j ∈ [1，n]，k ∈ [1，m])，则称其为差分约束系统。
例如如下的约束条件：
X1 - X2 <= 0 X1 - X5 <= -1
X2 - X5 <= 1 X3 - X1 <= 5
X4 - X1 <= 4 X4 - X3 <= -1
X5 - X3 <= -3 X5 - X4 <= -3
全都是两个未知数的差小于等于某个常数（大于等于也可以，因为左右乘以-1就可以化成小于等于）。这样的不等式组就称作差分约束系统。
差分约束系统求解过程：
1.新建一个图，N个变量看作N个顶点，M个约束条件作为M条边。每个顶点Vi分别对于一个未知量，每个有向边对应两个未知量的不等式。
2.为了保证图的连通性，在图中新加一个节点Vs，图中每个节点Vi都能从Vs可达，建立边w(Vs，Vi) = 0。
3.对于每个差分约束Xj - Xi <= Bk(这里是小于等于号)，则建立边w(Xi，Xj) = Bk。
4.初始化Dist[] = INF，Dist[Vs] = 0.
5.求解以Vs为源点的单源最短路径，推荐用SPFA，因为一般可能存在负值。
如果图中存在负权回路，则该差分约束系统不存在可行解。
Vs到某点如果不存在最短路径，即最短路为INF，则对于该点表示的变量可以取任意值，都能满足差分约束的要求，如果存在最短路径，则得到该变量的最大值。
上述过程最终得到的解为满足差分约束系统各项的最大值。
注意点：
1. 如果要求最大值想办法把每个不等式变为标准 x - y <= k 的形式,然后建立一条从 y 到 x 权值为 k 的边，变得时候注意 x - y < k => x - y <= k-1。
2. 如果要求最小值的话，变为 x - y >= k 的标准形式，然后建立一条从 y到 x 权值为 k 的边，求出最长路径即可。
3. 如果权值为正，用Dijkstra，SPFA，BellmanFord都可以，如果为负不能用Dijkstra，并且需要判断是否有负环，有的话就不存在。

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>#include<queue>#define INF 0x7fffffffusing namespace std;const int MAXN = 1100;const int MAXM = 30030;struct EdgeNode{    int to;    int w;    int next;}Edges[MAXM];int Head[MAXN],Dist[MAXN],vis[MAXN],outque[MAXN],id;void AddEdges(int u,int v,int w){    Edges[id].to = v;    Edges[id].w = w;    Edges[id].next = Head[u];    Head[u] = id++;}void SPFA(int s,int N){    int ans = 0;    memset(vis,0,sizeof(vis));    memset(outque,0,sizeof(outque));    for(int i = 1; i <= N; ++i)        Dist[i] = INF;    Dist[s] = 0;    vis[s] = 1;    queue<int> Q;    Q.push(s);    while( !Q.empty() )    {        int u = Q.front();        Q.pop();        vis[u] = 0;        outque[u]++;        if(outque[u] > N+1) //如果出队次数大于N，则说明出现负环        {            ans = -1;            break;        }        for(int i = Head[u]; i != -1; i = Edges[i].next)        {            int temp = Dist[u] + Edges[i].w;            if(temp < Dist[Edges[i].to])            {                Dist[Edges[i].to] = temp;                if( !vis[Edges[i].to])                {                    vis[Edges[i].to] = 1;                    Q.push(Edges[i].to);                }            }        }    }    if(ans == -1)   //出现负权回路，不存在可行解        printf("-1\n");    else if(Dist[N] == INF) //可取任意值，都满足差分约束系统        printf("-2\n");    else        printf("%d\n",Dist[N]);  //求使得源点 s 到 终点 t 的最大的值}int main(){    int N,ML,MD,u,v,w;    while(~scanf("%d%d%d", &N, &ML, &MD))    {        memset(Head,-1,sizeof(Head));        id = 0;        for(int i = 0; i < ML; ++i)        {            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);            AddEdges(u,v,w);//建边 u - v <= w        }        for(int i = 0; i < MD; ++i)        {            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);            AddEdges(v,u,-w);//建边 v - u <= w        }//这里不加也可以//        for(int i = 1; i < N; ++i)//            AddEdges(i+1,i,0);        SPFA(1,N);  //求使得源点 s 到 终点 t 的最大的值    }    return 0;}