线段树引篇

线段树是一种数据结构，是二叉树的一个变种。其实质就是在二叉树的节点存储一个区间信息。

其基本节点结构为

struct node{      int left,mid,right,data,lazy; //left,right,mid是区间的信息,data是表示这个区间的某种信息(max、min、sum).lazy是延迟标记,后面有介绍.};

由二叉树在顺序表的存储特点我们可以知道，序号为 rt 的节点的左孩子节点、右孩子节点的序号为 rt<<1  、rt<<1|1  .

第二个特点 区间为 l 、r 的区间节点的左孩子节点、右孩子节点的区间为 ( l , mid ) 、( mid+1 , r ).

下面是常见的一种建立线段数的方法：

void CreatTree(int rt,int l,int r){tree[rt].l=l,tree[rt].r=r;tree[rt].mid=(l+r)>>1;tree[rt].lazy=-1;  if(l==r){<pre name="code" class="cpp">scanf("%d",&tree[rt].sum);

return;}CreatTree(rt<<1,l,tree[rt].mid);CreatTree(rt<<1|1,tree[rt].mid+1,r);}

线段树除了创建函数,最重要的另外两个函数是更新函数、查询函数。

根据更新函数的不同,我们分为三种：一、点更新. 二、区间更新. 三、区间覆盖.

我们来看第一种：点更新  (每次更改点的信息)

void change(int rt,int k,int v){if(tree[rt].l==tree[rt].r){    //一直更新到根节点tree[rt].sum=v;return; }if(k<=tree[rt].mid)change(rt<<1,k,v);else change(rt<<1|1,k,v);tree[rt].sum=tree[rt<<1].sum+tree[rt<<1|1].sum; //回溯维护区间信息.(这里用sum举例子,也可以是求区间最值）}

时间为  log n  其跟新时间变长,但通过回溯维护区间信息可以使得查询的时候 也为 log n.

第二种：区间更新 (每次使得区间全部加上或减去某个值)

void change(int rt,int l,int r,int step){    if(l==tree[rt].left && r==tree[rt].right){    tree[rt].lazy+=step;return; }tree[rt].sum+=step*(r-l+1);  //维护区间信息(这里用sum举例子,也可以是用求区间最值)int mid=tree[rt].mid;if(r<=mid) change(rt<<1,l,r,step);else if(l>mid)change(rt<<1|1,l,r,step);else{change(rt<<1,l,mid,step);change(rt<<1|1,mid+1,r,step);}}

第三种：区间覆盖(每次使某个区间全部更改为某个值)  可应用为涂色

void change(int rt,int l,int r,int v){if(tree[rt].lazy==v)return;  //如果信息相同就不用更新if(tree[rt].l==l && tree[rt].r==r){   //区间匹配上了就赋值.tree[rt].lazy=v;return;}if(tree[rt].lazy!=0){         //双亲节点lazy信息跟新子孙节点信息.tree[rt<<1].lazy=tree[rt<<1|1].lazy=tree[rt].lazy;tree[rt].lazy=0;}if(l>tree[rt].mid)change(rt<<1|1,l,r,v);else if(r<=tree[rt].mid)change(rt<<1,l,r,v);else{change(rt<<1,l,tree[rt].mid,v);change(rt<<1|1,tree[rt].mid+1,r,v);}}

查询函数：

int Query(int rt,int l,int r){    if(tree[rt].left==l && tree[rt].right==r)return tree[rt].sum+(r-l+1)*tree[rt].lazy;    if(tree[rt].lazy!=0){    tree[rt<<1].lazy+=tree[rt].lazy;tree[rt<<1|1].lazy+=tree[rt].lazy;tree[rt].sum+=(tree[rt].right-tree[rt].left+1)*tree[rt].lazy;  tree[rt].lazy=0; }     if(r<=tree[rt].mid()) return Query(rt<<1,l,r);    else if(l>tree[rt].mid())return Query(rt<<1|1,l,r);    else        return Query(rt<<1,l,tree[rt].mid())+Query(rt<<1|1,tree[rt].mid()+1,r);}

以上都是以 sum 求和做例子.

线段树的三个函数大概模版就是这样~~

return;